這組問題你能分清嗎

■山東省棗莊市第二中學　李 琳

(1)存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),求實數a的取值范圍;

(2)若方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解,求實數a的取值范圍;

(3)若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),求實數a的取值范圍;

(4)若對任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),求實數a的取值范圍;

(5)若對任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),求實數a的取值范圍;

(6)若對任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),求實數a的取值范圍;

(7)若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實數a的取值范圍;

(8)若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),求實數a的取值范圍;

(9)若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實數a的取值范圍。

(2)解析:方程f(x)=g(x)在[0,2]上有解等價于存在x∈[0,2],使得f(x)=g(x),故本題解法同(1)。

點評:根據方程有解求參數取值范圍,常采用分離參數法,但若給出方程解的個數求參數范圍,一般不宜用分離參數法。

(3)解析:據題意,若存在x∈[0,2],使得f(x)＞g(x),即h(x)＞a有解,故h(x)max＞a,由(1)知h(x)max=4-ln3,于是得a＜4-ln3。

點評:在求不等式中的參數范圍過程中,當不等式中的參數(或關于參數的式子)能夠與其他變量完全分離出來并且分離后不等式其中一邊的函數的最值或值域可求時,常用分離參數法。另外要注意方程有解與不等式有解的區別,方程有解常通過分離參數法轉化為求函數值域問題,而不等式有解常通過分離參數法轉化為求函數最值問題。

(4)解析:對任意x∈[0,2],恒有f(x)＞g(x),即x∈[0,2]時,h(x)＞a恒成立,即h(x)min＞a,由(1)可知h(x)min=0,所以a＜0。

點評:比較(3),(4)可知不等式恒成立和有解是有明顯區別的,切不可混為一談。另外,還要注意解決此類問題時參數能否取到端點值。對以下充要條件應細心思考,甄別差異:

①若f(x)值域為[m,n],則不等式f(x)≥a恒成立?a≤m,不等式f(x)≥a有解?a≤n。

②若f(x)值域為[m,n],則不等式f(x)＞a恒成立?a＜m;若f(x)值域為(m,n],則不等式f(x)＞a恒成立?a≤m。

(5)解析:由題中條件可得f(x)的值域Α=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a],若對任意x1,x2∈[0,2],恒有f(x1)＞g(x2),即f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

點評:(4)與(5)雖然都是不等式恒成立問題,但卻有很大的區別。(4)中不等式的左右兩端函數的自變量相同,而(5)中不等式的左右兩端函數的自變量不同,x1,x2的取值在[0,2]上具有任意性。

(6)解析:由(5)的解法可知對任意x1,x2,x3∈[0,2],恒有f(x1)+f(x2)＞g(x3),即2f(x)min＞g(x)max,即0＞ln3-a,所以a＞ln3。

(7)解析:對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),即f(x)max＞g(x)max,由(4)可知即4＞ln3-a,所以a＞-4+ln3。

(8)解析:對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),則B?A,所以

點評:因為對f(x)值域內的任一元素在定義域內必存在自變量與其對應,所以對任意x2∈[0,2],若存在x1∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)的充要條件是g(x2)在f(x)的值域內,因此,g(x)的值域是f(x)的值域的子集。

(9)解析:若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),則f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞ -4。

點評:請將(5)、(7)、(9)仔細對比,體味任意與存在的區別。另外,對于存在性與任意性的綜合問題可先把其中一個函數看作常數,如(7)“若對任意x2∈[0,2],存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2)”,可令g(x2)=M,問題轉化為“存在x1∈[0,2],使得f(x1)＞M”,求出f(x)max=N,再根據“對任意x2∈[0,2],N＞g(x2)”進行求解。