夯實基礎，關注細節，把握基調
——“定積分”模塊備考指南

■中央民族大學附屬中學海南陵水分校　侯 軍

編者的話：“經典題突破方法”欄目里例、習題選自名校模擬題或三年高考真題。推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領悟數學解題思想方法,通過多解多變培養同學們多思多想的好習慣。學會解題反思,無疑是同學們學習的一條捷徑,愿同學們不斷在反思中進步,在反思中收獲！

定積分在新課標高考中一直處于尷尬的地位,一方面,它與大名鼎鼎的微積分一脈相承,知識重要程度可想而知;另一方面,在近幾年的新課標高考中,卻一直少見它的蹤跡,“定積分”儼然成了被遺忘的貴族。事實上,雖然在新課標的高考中少見定積分的顯露,但它在各類模擬試題中卻頻頻嶄露頭角。下面就以模擬題和高考題為例,談談定積分到底怎么考,考什么。

一、以模擬試題看高考風向

考點1 考查簡單函數的定積分

點評:這道模擬題主要考查定積分的基本運算公式,是一道基礎送分題,目的是引起同學們對定積分這一考點的重視,掃描知識盲區。

考點2 考查函數f(x)=的定積分

(河南省鄭州市2017年高三年級第三次質量檢測)已知等比數列{an},且a6,則a8(a4+2a6+a8)的值為()。

A.π2B.4π2C.8π2D.16π2

解析：設y=16-x2,該式子等價于由定積分的幾何意義可知:

所以在等比數列中:

點評:對于奇函數和偶函數有如下性質:

考點3 考查分段函數的定積分

(湖南省湘中名校教研教改聯合體2017屆高三上學期12月聯考)設f(x)=為()。

點評:對分段函數可以分開求各段的積分,最后各段求和。

解析：由題意知f(x)=|sinx|,x∈[0,2π]等價于

點評:事實上,本題還可以運用積分的幾何意義結合絕對值函數圖像性質先得到|sinx|dx=2sinxdx,這樣再運算起來可以更簡單一些。

考點4 定積分與二項式定理交匯

在(2x-1)10的二項展開式中x2的系數為(-1)8=180。

(安徽省2017屆高三數學第二次模擬考試)若(1-ax)(1+2x)4的展開式中x2項的系數為4,則

解析：由題意可得x2項的系數為×2=4,所以a=。

點評:對本題要注意y=xn與y=lnx這兩類函數的導數差別,同時要重視定積分與二項式定理的知識交匯,這樣的試題命制方式在各類模擬題中很常見。

二、以高考真題分析考試基調

從已考過定積分的高考真題來看,定積分模塊已逐漸形成了“關注基礎知識,考查數學能力,多元知識交匯,重視生活應用”的考試基調。為避免重復,已考基礎真題不再贅述,這里選擇一道與上述模擬題不同風格的高考真題進行補充說明。(2014年江西高考)若f(x)=