構造常數函數秒殺一類抽象函數題

■廣東省深圳市鹽田高級中學　丁小飛

高考或模擬考試中,在選擇題中經常用抽象函數進行壓軸。這樣的題對函數知識、性質等要求較高,特別是構造函數和求導、利用單調性解題,給很多同學帶來困擾。有很多專家對此進行了詳細的研究并給出了詳細的分析。但筆者近期在思考,因為是小題,有重結果不重過程之特點,能不能小題小解?于是帶著這種思路去探索,試圖找出簡便的解答。筆者通過研究,發現有一類抽象函數題,在構造函數中,直接構造成常數函數可以快速準確解答。而這種構造簡易方便,各個層次的同學都能掌握。在此以《中學數學研究》2017年第5期(上)刊登的《一道模考選擇壓軸題的分析與探究》的題型與變式研究來探究這種解法,以供參考。

1.原文試題、變式再現與研究

(1)原文試題:

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞1且f(x)+f'(x)＞1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)-1]＞ln4-x的解集為()。

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(3,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(-∞,0)

原文給出了詳細的分析和解答:

故exf(x)-ex＞4,令h(x)=exf(x)-ex-4,則h'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]。

因為f(x)+f'(x)＞1,所以h'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1]＞0。

所以h(x)單調遞增,又f(0)=5,所以h(0)=e0f(0)-e0-4=0。

故h(x)=exf(x)-ex-4＞0=h(0)的解集為(0,+∞)。故答案為A。

對于此題,筆者通過研究,發現在構造函數中,直接構造成常數函數可以快速準確解答,而且構造的常數函數中的常數就是題干中給出等式中的函數值。請看筆者的妙解:

根據筆者研究的結論,可以構造函數f(x)=5,我們會發現f(x)=5滿足題干中所有條件:定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞1且f(x)+f'(x)＞1,f(0)=5,其中f'(x)是f(x)的導函數。

于是可以用它來解題,ln[f(x)-1]＞ln4-x的解集可用構造函數來解答。

因為f(x)=5,所以ln[f(x)-1]＞ln4-x可化為ln[5-1]＞ln4-x,即ln4＞ln4-x,則0＞-x,x＞0。所以其解集為(0,+∞)。故答案為A。

由此解答既快又準,同學們也容易掌握,豈是一“妙”字了得！

也許有些讀者認為是碰巧,這種方法會不會恰好只能適用于這一題。筆者嘗試著解答,發現這種解法還能解答這篇文章中的變式或與變式類似的題目。

(2)原文中變式1:

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞-1且2f(x)+f'(x)+2＞0,f(0)=e-1,其中f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)+1]＞1-2x的解集為()。

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(3,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(-∞,0)

筆者的妙解:

構造函數f(x)=e-1。(滿足題干中所有的條件:定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞-1且2f(x)+f'(x)+2＞0,f(0)=e-1,其中f'(x)是f(x)的導函數)

則不等式ln[f(x)+1]＞1-2x可化為ln[e-1+1]＞1-2x,即lne＞1-2x,即0＞-2x。馬上可以得出其解集為(0,+∞),答案為A。

(3)原文中變式2:

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞4且3f(x)+f'(x)＜12,f(1)=4+,其中f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)-4]＞2-3x的解集為()。

A.(1,+∞)

B.(-∞,1)∪(2,+∞)

C.(-∞,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,1)

如果把小于12改成大于12,筆者的解法也是可以求解的。

新變式:定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞4且3f(x)+f'(x)＞12,f(1)=4+,其中f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)-4]＞2-3x的解集為()。

A.(1,+∞)

B.(-∞,1)∪(2,+∞)

C.(-∞,1)∪(1,+∞)

(4)原文中變式3:

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞2且4f(x)-f'(x)-8＜0,f(-)=3,其中f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)-2]＞1+4x的解集為()。

同理,如果此變式中的小于0改成大于0,運用此法也是可以求解的。

新變式:定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞2且4f(x)-f'(x)-8＞0,f(-)=3,f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)-2]＞1+4x的解集為()。

新變式的解答:構造函數f(x)=3。(滿足題干中所有的條件:f(x)＞2且4f(x)-f'(x)-8＞0,f(-)=3,其中f'(x)是f(x)的導函數)

則所求的解集與ln[3-2]＞1+4x的解集相同,即0＞1+4x,解集為

是不是有秒殺之感?

這種構造其實是碰巧中有必然,何種題型可以構造呢?原文中最后“試題的解題規律”也是可應用此種解法的題型:

定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞-a且bf(x)-f'(x)+ab＞0,f(-)=1-a,其中f'(x)是f(x)的導函數,則不等式ln[f(x)+a]＞bx+c的解集為____。

解析：此種題型恰好能構造f(x)=1-a,滿足題干中所有的條件:定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)＞-a且bf(x)-f'(x)+ab＞0,f(-)=1-a,其中f'(x)是f(x)的導函數。所以不等式ln[f(x)+a]＞bx+c的解集與不等式ln[1-a+a]＞bx+c的解集相同,與0＞bx+c的解集相同。

2.啟示

數學是神奇的,里面隱藏著美妙的思維。多去思考探究,往往能有意外的驚喜,不但可以幫助我們解決“難題”,而且可以帶領我們走進數學的美妙殿堂,讓我們體會到數學的美。