例談高中數學一題多解

陳 艷

（江蘇省南京市燕子磯中學，江蘇南京 210000）

引 言

高中數學知識具有較強的抽象性和復雜性，學生在學習過程中往往會存在諸多方面的問題，會碰到各種各樣的難題，教師應該讓學生學會“一題多解”的方法，使他們逐漸感到學習數學的樂趣，進而提高學生學習的積極性與主動性。

一、溫故知新法，提高學生的一題多解能力

在高中數學教學中，要想有效培養學生的一題多解能力，不僅需要學生能靈活運用數學新知識，還需要學生結合已經掌握的相關數學知識，借助溫故而知新的方式，把新舊知識有機結合在一起，從而逐漸提高學生的發散思維能力，最終為順利、正確地解答出數學題目做好準備[1]。

例題1：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范圍。

法1：舊知高一的不等式性質：設2x-3y=m(x+y)+n(xy)=(m+n)x+(m-n)y，則 m+n=2 且 m-n=-3，得所以

法2：新知高二線性規劃：根據已知條件得4個不等式可得到可行域，令，即可看出所求取值范圍和直線的縱截距有關，代入(2，-1)，縱截距最小而此時；代入（2，3），縱截距最大而此時，故 -5≤2x-3y≤7。

我們從上述例題的兩個解法中可以得知，只有在學生掌握題目解法的相關知識的前提下，才能使他們在解答數學題目的時候能從更多角度思考與分析，從而可找出更多的解題方法，實現一題多解。在實際的解題過程中，不僅需要教師引導學生對新學習的數學知識進行靈活運用，還需要教師結合學生已經掌握的解題方法做進一步探索，以便找出更加便捷的解題方法。借助溫故知新解題方法的應用，可以使學生較好地鞏固已經學習過的數學知識，還可以使學生將多個數學知識點融合在一起，以便探究出更多視角的解題方法。

二、舉一反三法，提高學生的一題多解能力

在具體的解答高中數學題目的過程中，應用一題多解教學方法可以使學生實現溫故而知新，還可以讓學生對同一個題目提出多種解題思路，以實現舉一反三的教學目標。換句話說，在高中數學解題教學中，教師在引導學生解答數學題目的時候，可以引導學生對類型相同題目的有效解題方法進行及時歸納與總結，從而可以更加全面、系統地掌握這一類型數學題目的解題思路與方法，以推動學生解題能力及數學思維能力的快速發展。在用一題多解教學法組織高中數學解題課堂活動的時候，教師需要引導學生總結同類題目中的相關知識點、規律及定理，在獲得這類題目的解題心得之后，就可以促進學生解題能力的提升[2]。需要注意的是，教師應善于從多個角度啟發學生，讓他們能多層面地看待數學問題，以幫助他們更好地掌握與解題思路有關的各個知識點。

例題2：已知直線x+2y-3=0和圓x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q兩點。若OP⊥OQ（為原點），求m的值。

法1：由OP⊥OQ想到向量數量積為0，故設P（x1,y1），Q（x2,y2），聯立直線和圓方程得出韋達定理y1+y2=4，。又因為所以即(3-2y1)(3-2y2)+y1y2=9-得 m=3。

法2：由OP⊥OQ想到三點共圓，又直線與圓交于P，Q兩點想到圓系方程，故設經過P，Q兩點的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0， 過（0，0）得m=3λ，整理方程得圓心為，在直線x+2y-3=0，代入解得λ=1，即m=3。

法3：由OP⊥OQ想到三點共圓，且PQ為此圓和已知圓的公共弦，故已知圓心設為，以PQ為直徑的圓設為圓N，則，與已知直線聯立得N（-1,2），即為圓N的半徑，圓N：與圓M的方程x+2y-m=0相減得公共弦方程即為已知直線，故m=3。

法4：同法3得N（-1,2），由PQ中點為N，設P（a，b），Q（-2-a，4-b）代入直線方程得a+2b-3=0。又由得a(-2-a)+b(4-b)=0，結合上式得a=3，b=0,代入已知直線方程，得m=3。

本題還可以通過垂直想到幾何直角三角形斜邊中線等于斜邊一半去計算，但計算較煩瑣，故不再贅述。從本題的解題方法能夠得知，思路各有特點，在應用數學知識方面也有較大差異。借助對學生解題思路的科學延伸，可從多個層面與視角求解題目，熟練掌握各種解題思路之后，就可實現舉一反三，以便找出更便捷的解題方法，有助于學生解題能力的提升。

結 語

總之，將一題多解教學法應用到高中數學教學中，是發展學生思維能力的有效形式，也是提升學生解題能力的主要途徑。因此，教師在實際的解題教學中，應引導學生多層面、多角度地分析題目，啟發學生將新舊知識有機結合、靈活運用，并善于總結同類題目的解題方法，最終使學生的數學解題綜合能力不斷提高。