“整體思想”在初中數學解題中的應用

張亞峰

（江蘇省泰州中學附屬初級中學，江蘇泰州 225300）

引 言

整體思想是指在解決數學問題時，將要解決的問題看作一個整體，通過對問題的整體形式、整體結構、整體特征進行綜合考慮后得出結論的一種解題方法[1]。整體思想的主要表現形式有整體代入、整體換元、整體構造，其在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有著廣泛的應用，正確地利用它來解題，可以達到事半功倍的效果。

一、在整式運算中的應用

A.7 B.18 C.12 D.9

解：因為3x2-4x+6=9，則所以

分析：如果直接代入計算，運算量非常大，觀察已知條件的特點，考慮“整體代入”。

二、在方程中的應用

分析：本題若用一般方法，即先解方程組，再代入求值，將十分煩瑣。仔細觀察發現，若將兩個方程直接相加，再化簡，則很容易得出答案。

解：將兩個方程相加，得3x+3y=15，所以x+y=5。

例6：甲、乙、丙三人參加數學競賽，競賽題目共有100道，每人都解出了60道，且每道題都至少有一人能解出。若將其中只有一個人能解出的題稱為難題，將有兩個人能解出的題稱為中等題，將三個人都能解出的題稱為容易題。試問：難題多還是容易題多？多的比少的多幾道？

分析：設共有x道難題，y道容易題，z道中等題。

由于難題只有一個人能解出，所以三人共解難題x道；容易題有三人都能解出，所以三人共解容易題3y道；中等題有兩個人能解出，所以共解中等題2z道。而本題有兩個等量關系：（1）難題數+容易題數+中等題數=100；（2）3人共解題180道。

本題要求解出難題與容易題相差多少道，可將x-y看作一個整體，設法消去z。

解：根據題意得方程組：

①×2-②，得x-y=20

所以，難題比容易題多，多20道。

三、在幾何計算中的應用

例7：如圖1所示，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要_____米。

圖1 坡角為30°的樓梯

分析：由于臺階的級數以及每一級臺階的長和高都未知，無法通過求每級臺階所需地毯的長度來求地毯的總長度。若從整體考慮：將每級臺階的高都平移到AC上，就可得知各級臺階高的和恰為AC的長。同樣可得各級臺階長的和恰為BC的長。

例8：如圖2所示，五個半徑都是1的等圓⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，順次連結五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中陰影部分的面積和是（ ）。

A. π B. 1.5π C. 2π D. 2.5π

圖2 五個半徑為1的等圓

分析：由于無法求出每個扇形圓心角的度數，從而不能得到各個扇形的面積，因此要將五個陰影部分作為整體來考慮。注意到五邊形的內角和為540°，即五個扇形的圓心角和為540°，而各個扇形的半徑也相等。

例9：如圖3所示，等邊△ABC中，BC=4，AD⊥BC，點E、F是AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是（ ）。

圖3 等邊三角形ABC

分析：不難看出，EFCΔ的面積等于EFBΔ的面積，可將圖中陰影部分轉變成一個整體，即ABDΔ的面積。

結 語

整體思想作為初中數學一種重要的思想方法，它能使復雜問題簡單化。布魯納指出，掌握基本數學思想和方法能使數學更易于理解和記憶。數學思想方法是數學的精髓，只有領會了數學思想方法，用數學思想方法來武裝自己，才能真正成為數學的主人。