初中數(shù)學(xué)動點問題的解題策略探討

周航

摘 要：數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科，對初中生的邏輯思維訓(xùn)練與綜合能力培養(yǎng)有十分重要的作用。而動點問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個具有代表性的知識板塊，在中考中也極具選拔作用，常與描述量的運動變化規(guī)律的函數(shù)結(jié)合在一起，以壓軸題的形式出現(xiàn)。許多考生面對這類問題時會感受手足無措。而在日常的教學(xué)中，教師也困惑于如何向?qū)W生解釋其解法。其實，只要掌握了與函數(shù)動點問題相關(guān)的解題策略，許多困難便會迎刃而解。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)動點問題；解題策略；教學(xué)方法

動點問題是指與一個或者多個點在一個規(guī)定的區(qū)域內(nèi)移動有關(guān)的問題，并且在點的運動過程中一般伴隨著各種量的變化?！皠狱c”分為點的運動和線（無數(shù)點組成線）的運動，因此動點問題常常與函數(shù)和幾何相聯(lián)系，動點問題一般可以分為動點型問題和動線型問題，而動點型問題包括單動點型問題和雙動點型問題。在動點問題的日常教學(xué)中，可以借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件來直觀描述動點的變化以輔助教學(xué)。

一、動點問題特殊化

在近年的中考中，動點問題傾向于通過動點運動過程中的某一瞬間的特殊狀態(tài)來明確變量和不變量、建立方程模型，這就是動中求靜，再通過靜止?fàn)顟B(tài)來解決運動狀態(tài)的問題。通常會選擇動點運動到一個特殊點的狀態(tài)或者是動點運動到一個特殊位置形成一個特殊圖形等特殊狀態(tài)。

中考中的壓軸題多與動點問題相關(guān)，常常建立在函數(shù)的基礎(chǔ)上，并與矩形、梯形、相似三角形、全等三角形和直角三角形等圖形間的變化或者圖形的特殊狀態(tài)有關(guān)，綜合性較強，這也要求學(xué)生靈活運用所學(xué)知識并將幾何知識和函數(shù)知識聯(lián)系起來。因此，許多考生為這類問題感到困難。筆者認(rèn)為，處理動態(tài)問題的時候，要在解析幾何與函數(shù)的基礎(chǔ)上分析動點的“動靜”關(guān)系，把復(fù)雜的問題簡單化。

二、尋找動點的“靜止”狀態(tài)

在動點問題的提問方式中，題目中已經(jīng)給出確定的信息，存在或者不存在某種特殊狀態(tài)，要求考生對此加以證明或者求出該特殊狀態(tài)下的一些量的關(guān)系等。此時可將動點問題的動態(tài)靜止化，處理滿足條件的特定的某個時間點上的量的關(guān)系。

例如，直線L：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，拋物線過點B、C和D（3，0）。

（1）求直線BD和拋物線的解析式。

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標(biāo)軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點 的坐標(biāo)。

（3）在拋物線上存在點P使得SΔPBD=6，求出點P的坐標(biāo)。

分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式。

（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因為△BND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形。

（3）解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達式，然后根據(jù)SΔPBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解。

解：（1）∵直線L：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B， ∴A（-1，0），B（0，3），∵把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C， ∴C（1，0）。

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，∵點B（0，3），D（3，0）在直線BD上，∴b=33k+b=0 解得k=-1，b=3，∴直線BD的解析式為：y=-x+3。

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）。

∵點B（0，3）在拋物線上，∴3=ax（-1）×（-3），解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3。

（2）拋物線的解析式為：y=x2-4x+3=（x-2）2-1。

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標(biāo)為（2，-1）。

直線BD：y=-x+3與拋物線的對稱軸交于點M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）。

設(shè)對稱軸與x軸交點為點F，則CF=FD=MN=1，

∴△MCD為等腰直角三角形。

∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形。

（I）若BD為斜邊，則易知此時直角頂點為遠點O，∴N1（0，0）；

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點，則點N在x軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON2=3。 ∴N2（-3，0）；

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點，則點N在y軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON3=3。 ∴N3（0，-3）；

∴滿足條件的點N坐標(biāo)為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）。

（3）假設(shè)存在點P，使SΔPBD=6，設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n）。

（I）當(dāng)點P位于直線BD上方：

過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=n，DE=m-3.

SΔPBD=SPEOB-SΔBOD-SΔPDE=■（3+n）·m-■×3×3-■（m-3）·n=6。

化簡得：m+n=7 ①

∵n=m2-4m+3

代入①式整理得：m2-3m-4=0。

解得：m1=4，m2=-1

∴n1=3，n2=8。 ∴P1（4，3），P2（-1，8）

（II）當(dāng)點P位于直線BD下方時：

過點P作PE⊥y軸于點E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n。

SΔPBD=SPEOD-SΔBOD-SΔPBE=■（3+m）·（-n）+■×3×3-■（3-n）·m=6。

化簡得：m+n=-1 ②

∵P（m，n）在拋物線上， ∴n=m2-4m+3，

代入②式整理得：m2-3m+4=0，Δ=-7<0此方程無解。

故此時點P不存在。

綜上所述，在拋物線上存在點P，使SΔPBD=6，點P的坐標(biāo)為（4，3）或（-1，8）。

三、幾何畫板演繹動點輔助教學(xué)

也許對于教師來說，求解動態(tài)問題還是相對簡單的，但是在日常的教學(xué)中，如何清楚明白地向?qū)W生解釋動態(tài)問題，是一大難點。因此，信息化的社會也為困擾了教師多年的這個難題提供了一個值得利用的途徑——幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，學(xué)生非常喜歡在數(shù)學(xué)課堂上利用幾何畫板來學(xué)習(xí)，用到幾何畫板軟件上的數(shù)學(xué)課的認(rèn)同率高達100%，而這一認(rèn)同率的原因分析表示90%的被調(diào)查者認(rèn)為幾何畫板引入數(shù)學(xué)教學(xué)中，能使抽象的數(shù)學(xué)知識簡單具體且直觀生動，更容易被接受、理解。由此可以看出，幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件對動點運動狀態(tài)的直觀演繹和初中數(shù)學(xué)中動點問題的教學(xué)幫助效果非常好。

參考文獻：

[1]馬濤.中考數(shù)學(xué)動點問題研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（12）：47-48.

[2]牟麗華.幾何畫板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究[D].重慶師范大學(xué)，2012.

編輯 楊兆東