從深刻性理解到結構化學習
——兼談《20以內的進位加法（第一課時）》教學

許衛兵（特級教師）

如果從內容形式上劃分，“20以內的進位加法”應當屬于計算教學的范疇。但是，由于這是學生首次學習進位加法，首次正式學習并應用“湊十法”這一貫穿在整個加法運算中的重要算法，因此，本課教學又帶有濃濃的概念教學的意味。深刻地理解和把握這一內容的學習重點，正確看待“湊十法”的學習價值與意義，尋求科學有序的學習方式和路徑，是這節課需要考慮的幾個重要方面。

對教學內容的深刻理解，并不能局限在教材內容。馬立平博士在《小學數學的掌握和教學》一書中提及，深刻理解數學包括三個“度”：寬度、深度和完整度。所謂寬度，就是能多角度地“欣賞”一個概念的不同側面和解決問題的不同路徑，以及它們的優勢與不足。所謂深度，就是“顯示了積極的數學態度”，并特別清楚“簡單而又強大的基本數學概念和原理（數學思想）”。所謂完整度，就是能夠融會貫通——并不局限在某個年級的數學知識，而是對整個小學數學課程有全面把握。這種深刻理解，“不僅僅是對小學數學有很好的概念性理解，而且還是對小學數學中內在的概念結構和基本的數學態度的掌握，還有能為概念結構提供的基礎并把那些基本的態度傳授給學生的能力”。

如何從知識系統性的角度理解“20以內的進位加法”的教學呢？這是因為，是10以內加減法（即“不進位加”“不退位減”）的延續和升華，又是后續兩位數（或多位數）加減法的基礎。實際上，看似“高級形式”的多位數加減最終都是分解為一步一步的20以內的加減法來完成。因此，這一內容，在整個加減法的知識系統中“分量”非同一般。從馬立平博士提供的加減法“知識包”（如下圖）可以看出，“20以內加減法”與“進位和退位”（用深色加以標注），就是表明它們在整個知識系統中的關鍵作用，不僅承上啟下，而且“左通右達”。

了解到這一重要性后，就需要進一步思考如此重要是通過什么來承載的，即到底是什么東西讓“20以內的進位加法”變得如此重要？很顯然，那就是“湊十法”在其中發揮的重要應用。因此，理解“湊十法”、學好“湊十法”、靈活應用“湊十法”就成了本課教學的重點。

縱觀劉玉晗、錢麗兩位教師的教學設計，都聚焦在“湊十法”上大做“文章”，頗有異曲同工之效：首先是借助具體算式或圖示等直觀手段激活“10”的感覺，喚醒“10加幾等于十幾”的運算經驗；然后是嘗試解決新問題（9加幾），從算法多樣化的背景中，將“湊十”的方法思路提取出來，聚焦并放大其在運算中的優越性；接著通過拓展、遷移、對比、應用，進行鞏固練習，強化利用“湊十法”進行進位加法運算的熟練水平。應該說，這兩節課在寬度、深度和完整度上都有充分的體現，并且教師努力將自己的理解轉化成學生積極的學習行動與能力培養。客觀地講，這樣的設計思路和教學組織在傳統教學中是比較常見的，也在一定程度上印證了馬立平博士在《小學數學的掌握和教學》中所述的觀點——“中國教師往往對一個概念第一次被引入的場合最為重視。他們為后續的學習建立堅實的基礎。對他們來說，第一次和最初的學習越牢固，它能為后續的形式更為復雜的概念學習提供更多的幫助。”

當然，同樣是重視“湊十法”，兩位教師的教學設計也體現出一定的差異。劉玉晗老師遵照教材的編排體例，第一課時只學習“9加幾”。因為學習內容相對較少，因此課堂教學比較細膩，各部分展開比較充分，學習要求穩步提升，鞏固訓練比較扎實。錢麗老師不拘泥于教材的限制，將兩個課時的內容整合在一節課學習（實際上還涉及到第三課時編排的部分內容），以“湊十法”的學習為主線，串聯起9加幾、8加幾、7加幾的學習，學習容量相對較大，思維要求相對較高，不過，因為課堂“主線”清晰，遷移過渡比較自然，加上學生已有的知識基礎的支持，學起來也不見得有太大困難。更為重要的是，因為其跨度大，重視了知識間的整體性和結構關聯，學生經歷了較為完整的認知建構過程，結構化思維得到了很好的發展。

錢麗老師的教學設計觸發了我們對結構化學習的思考。所謂結構化學習，是指建立在數學知識系統和學生已有認知基礎之上的，以整體關聯為抓手，以動態建構為核心，以發展思維為導向，以基礎學力與數學素養為目標追求的學習過程、學習方式和方法。數學常常就被說成“結構的科學”，一方面是因為鄭毓信教授在《新數學教育哲學》一書中提到“數學對象是明確定義的產物，數學結論又是按照相應的定義與給定的推理規則進行推理的結果，因此，數學對象的性質就完全反映于它們的相互關系。這也就是指，數學對象的建構事實上是一種整體性的建構活動。或者說，數學的對象并非各個孤立的模式，而是整體性的建構”；另一方面也是因為學習總是一個連續的過程，前面的知識支持新的知識，新知識又加強和深化了原先的認識，用美國認知心理學家布魯納的話來講，即“學習就是認知結構的組織和重新組織，學習結構就是學習事物是如何聯系的”。

正因為數學知識系統具有很強的整體性、邏輯性、結構性，因此，數學學習要充分順應這種特征，抓住知識間的內在聯系，讓學生在建構性學習中更好地把握結構、理解結構、生成結構，發展結構化思維，提升數學素養，催生數學學習的智慧。受錢麗老師的教學設計的啟示，我們可以發現，很多數學內容的學習都是可以適度整合的，比如：借助于真實的鐘面，將“時”“分”“秒”三個時間單位安排在一節課學習；在學習“分米”和“毫米”時，將之嵌入到“米”和“厘米”的序列中。經過整合，能少用課時，增強學習效果。當然，我們不能為了整合而整合，還需要充分考慮學習基礎、學習難度、學習容量。同時，也要看到，“結構”的存在方式是多種多樣的，從范圍來看，有大結構（比如，小學里學習的認識方向、確定位置，實際上都是初中學習的直角坐標系模型；長方形、正方形、三角形、平行四邊形的面積都可以用梯形面積公式來計算，內在具有“統一性”等）、小結構（比如，錢麗老師教學設計中，開始五道含有“10”的加法算式的比較，中途將“9+4”的多樣化算法進行比較，最后環節將“進位加”和“不進位加”進行比較等，都具有明顯的結構特色）。從內容上來看，有知識層面的（比如，用“湊十法”計算進位加），也有方法層面（比如，錢麗老師的教學設計中出現的“看、提、擺或圈、寫、說”的問題解決流程；用“先分后合”解決多位數乘法運算等）；有思維層面的（比如，正想想，反想想），也有思想層面的（比如，轉化的思想、建模的思想、方程的思想等）。從時序上看，有學習前結構（原有的認知結構）和學習后結構（經過學習之后形成的新的認知結構）。從對象上看，有個體結構（學生個人具有的結構方式）和群體結構（學生集體擁有的結構模式）。多樣化的結構形式，必然會帶來多樣性的結構化學習，當然，其根本的目標還是促進思維的發展，尤其是結構化思維的發展。

總的說來，對教學內容的深刻性理解是有效進行教學活動和學習活動的前提，而結構化學習則是具體的過程、路徑和方式，它遵從了數學學科“整體性建構”的本質特征，順應了數學學習“四兩撥千斤”的內在需求，彰顯了“素養為上”的教育教學價值，值得我們好好地思考和實踐。