“系列課”背景下起始教材的比較研究與教學(xué)建議
——以《近似數(shù)與估算》教學(xué)為例

何月豐

數(shù)學(xué)知識(shí)是螺旋上升發(fā)展的。在上升發(fā)展的過程中，知識(shí)的外在形態(tài)會(huì)發(fā)生一定的變化，但還是在原來的知識(shí)鏈上。在一條鏈上的知識(shí)，會(huì)有幾個(gè)關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)。從教學(xué)的角度看，這些節(jié)點(diǎn)就形成了一節(jié)節(jié)的數(shù)學(xué)課。因?yàn)檫@些課是由同一個(gè)起源發(fā)展而成，并在一條知識(shí)鏈上，就形成了一個(gè)“課系”，不妨稱為“系列課”。

如果這樣的理解是正確的，那么可以說明一個(gè)事實(shí)：沒有一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)是一節(jié)課能教完的，即所有的數(shù)學(xué)課都是系列課。

不同課系以及一個(gè)課系中的不同課，會(huì)受到不同程度的關(guān)注。例如《長方形的面積》，這節(jié)課備受關(guān)注，是研究熱點(diǎn)，也就在一定程度上體現(xiàn)了我們對這節(jié)課是非常重視的，就把它單獨(dú)拿出來研究了。換一個(gè)角度，《長方形的面積》其實(shí)是“面積計(jì)算”這個(gè)系列的一節(jié)課而已。

基于以上對“系列課”的認(rèn)識(shí)，對《近似數(shù)與估算》的教材比較研究，除了整體上的橫向、縱向等維度之外，還可從特有的“系列結(jié)構(gòu)”、“系列起點(diǎn)”、“系列階段終點(diǎn)”三個(gè)方面進(jìn)行。下面筆者就“系列起點(diǎn)”——《近似數(shù)與估算》起始教材的比較研究，與老師們做一個(gè)交流。

所謂“起始教材”，即在整個(gè)“課系”中知識(shí)第一次正式出現(xiàn)時(shí)的教材。為了增強(qiáng)對比性，使研究更有寬度和深度，我選擇了國內(nèi)的人教版、浙教版以及美國的加州版三個(gè)版本教材進(jìn)行比較研究。為了增強(qiáng)可比性，使研究更為細(xì)化，我擬定了教材立意、素材選擇、特色方法三個(gè)比較點(diǎn)。

一、對三個(gè)版本《近似數(shù)與估算》起始教材的獨(dú)立分析

1.對人教版《近似數(shù)與估算》起始教材的獨(dú)立分析。

人教版（2012版）教材，《近似數(shù)與估算》第一次正式作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，是在二年級(jí)下冊第91頁，該內(nèi)容隸屬于《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》單元。

教材立意：該起始教材的例題是教學(xué)將9985看成10000，所以教材立意為近似數(shù)的教學(xué)。同時(shí)在教學(xué)逐步推進(jìn)的過程中，明確提出了“近似數(shù)”、“準(zhǔn)確數(shù)”這樣的術(shù)語，并給出了近似數(shù)的優(yōu)點(diǎn)——更容易記住。

素材選擇：在素材方面，教材選用了一個(gè)常見的生活情境，電視節(jié)目中主持人報(bào)了運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為9985人，看電視的爸爸將人數(shù)說成“將近10000人”。然后通過“畫外音”對話的形式，對兩種說法進(jìn)行對比，給出兩種說法的特點(diǎn)。應(yīng)該說，這樣的素材選擇，還是很有“生活氣息”的。

特色方法：人教版此處教材的編排，“數(shù)直線”的使用可理解為是其特色之處。通過數(shù)直線，可使二年級(jí)的學(xué)生直觀地看到9985與10000的“接近”，從而能更好地理解將9985看成10000的合理性。

2.對浙教版《近似數(shù)與估算》起始教材的獨(dú)立分析。

浙教版（2012版）教材，《近似數(shù)與估算》第一次正式作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，是在二年級(jí)下冊第96頁，是一個(gè)獨(dú)立的單元。

教材立意：該教材的立意，從單元題目就可以看出來是估算。不過，仔細(xì)分析教材會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里除了教學(xué)估算，還教學(xué)近似數(shù)，如估算時(shí)要把389看成400，其實(shí)就是近似數(shù)教學(xué)，把近似數(shù)作為一種估算的需要來處理，這種需要源于例題問題中的“大約”。

素材選擇：在素材方面，浙教版選用了一個(gè)學(xué)生比較熟悉的生活情境——圖書館藏書情況，并以此為背景，轉(zhuǎn)化成一個(gè)典型的加法問題，由此通過問題中的“大約”引出“估算”。以生活問題為背景，再轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，本身就是浙教版教材的編排特色。

特色方法：浙教版這樣的編排，把近似數(shù)與估算融合在一起教學(xué)，在此，且把這樣的編排作為它的特色之處吧。另外值得一提的是，浙教版在第一次教學(xué)《估算與近似數(shù)時(shí)》就引入了“≈”。

3.對美國加州版《近似數(shù)與估算》起始教材的獨(dú)立分析。

加州版教材，《近似數(shù)與估算》第一次正式作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，是在一年級(jí)（加州教材不分上下冊）的第251頁（如下圖），該內(nèi)容隸屬于第8單元（一年級(jí)一共14個(gè)單元）《100內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》。

教材立意：該教材中標(biāo)題“Estimating with Groups of Ten”的意思為“以10個(gè)為一組估計(jì)”，教材立意清晰可見——估計(jì)。從教材中我們也可以看到“以10個(gè)為一組”的估計(jì)行為——教材用不同顏色的小立方體表示，小朋友正在10個(gè)一組圈一圈進(jìn)行數(shù)數(shù)。對于估計(jì)結(jié)果，教材采用選擇性的方法，給出了30和50兩個(gè)選項(xiàng)，讓學(xué)生操作之后思考，這一堆小立方體可以估計(jì)成30個(gè)還是50個(gè)。所以，從這個(gè)過程上去理解，加州版教材表面是在教“估計(jì)”，其實(shí)是近似數(shù)的教學(xué)。

素材選擇：在素材上，教材沒有選用生活問題，沒有給出進(jìn)行估計(jì)的需要和背景，而是直接指向于行為——以10個(gè)為一組進(jìn)行估算。

特色方法：加州教材的特色之處，在于給出了具有動(dòng)作行為的估計(jì)方法——以10個(gè)為一組。同時(shí)，對于估計(jì)結(jié)果的確定，是選擇性的（下面的練習(xí)也是這樣的形式）。這樣的處理，對于剛剛接觸估計(jì)的一年級(jí)學(xué)生而言是有好處的。

二、對三個(gè)版本《近似數(shù)與估算》起始教材的對比分析與思考

在以上獨(dú)立分析的過程中，其實(shí)也默默進(jìn)行著對三個(gè)版本教材的對比。這種對比，既有立足教材立意、素材選擇和特色方法這三個(gè)方面的，也有在這三個(gè)方面之外的。對比發(fā)現(xiàn)，區(qū)別還是比較顯著的。

1.對教材立意、素材選擇和特色方法對比分析后的思考。

教材版本 教材立意 素材選擇 特色方法 起始年級(jí)人教版 近似數(shù) 生活情境 數(shù)直線直觀感受接近 二下浙教版 估算（近似數(shù)） 生活情境1.近似數(shù)與估算一起教學(xué)2.引入“≈”二下加州版 估計(jì)（近似數(shù)）沒有生活情境1.10個(gè)一組進(jìn)行估計(jì)2.對估計(jì)結(jié)果進(jìn)行選擇一年級(jí)

（1）通過對“教材立意”的對比分析可以看出，教學(xué)一旦牽涉到估算（估計(jì)），就會(huì)涉及到近似數(shù)的教學(xué)，而近似數(shù)可以獨(dú)立教學(xué)。在這個(gè)問題上，我想也是好理解的，因?yàn)橐浪悖ü烙?jì)），就說明不需要一個(gè)準(zhǔn)確的結(jié)果，這就自然地產(chǎn)生了近似數(shù)。例如浙教版教材要求兩類書的總量，只要“大約”即可，加州版教材估計(jì)小立方體的數(shù)量，是要看實(shí)際數(shù)量更接近30還是50。這樣，在計(jì)算兩類書的總量時(shí)，用到了近似數(shù)，選擇30或50也是近似數(shù)。

（2）通過對“素材選擇”的對比分析可以看出，就比較的三個(gè)版本教材而言，國內(nèi)和國外是有區(qū)別的。國內(nèi)的教材都選用了生活情境，而國外是沒有的。當(dāng)然，國外這里只選用了一個(gè)版本的教材，不能以一概全。但就“生活情境”而言，我個(gè)人認(rèn)為還是需要的。1980年美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)在《行動(dòng)的綱領(lǐng)》這份文件中，第一次提出“把估計(jì)能力作為一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，并在后續(xù)的研究中形成了一定的共識(shí)，“必須讓學(xué)生理解估計(jì)的意義，什么情況下的估計(jì)是合適的……”顯然，生活情境的介入，對學(xué)生理解估計(jì)的意義，認(rèn)識(shí)到什么情況下使用估計(jì)是非常有幫助的，由此能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到“課本中的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)的聯(lián)系”。

（3）通過對“特色方法”的對比分析可以看出，在起始教學(xué)近似數(shù)或估算時(shí)，“取整”是一個(gè)共同選擇。人教版把9985看成10000，浙教版把389和308看成400和300，加州版將一堆小立方體估計(jì)成30或50。三個(gè)版本教材不約而同地用整十、整百、整千、整萬作為學(xué)生首次接觸近似數(shù)的“近似對象”，我想這是易于一二年級(jí)的學(xué)生理解和接受的。尤其是人教版和浙教版，都采用了更能體現(xiàn)“接近”的數(shù)據(jù)，就更加有利于學(xué)生的理解和接受了。

2.對三個(gè)版本近似數(shù)形成過程的分析與思考。

在對以上三個(gè)方面進(jìn)行分析與思考的過程中，我注意到三個(gè)版本教材在作為結(jié)果的“近似數(shù)”的形成過程上有所區(qū)別，具體如下表。

教材版本 教材立意 產(chǎn)生過程 近似數(shù)形式人教版 近似數(shù) 數(shù)→數(shù)將準(zhǔn)確數(shù)估成近似數(shù) 作為結(jié)果浙教版 估算（近似數(shù)）數(shù)→數(shù)→算先將準(zhǔn)確數(shù)估成近似數(shù)，再計(jì)算作為手段加州版 估計(jì)（近似數(shù)）物→數(shù)估計(jì)未知小立方體的近似數(shù)量作為結(jié)果

在“產(chǎn)生過程”上，三個(gè)版本的教材各不相同。

人教版教材是先給出一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)（運(yùn)動(dòng)員人數(shù)），再根據(jù)準(zhǔn)確數(shù)得到近似數(shù)，采用了“數(shù)→數(shù)”的形式，近似數(shù)是作為結(jié)果來呈現(xiàn)的。

浙教版教材，先根據(jù)準(zhǔn)確數(shù)（數(shù)的數(shù)量）得到近似數(shù)，再運(yùn)用近似數(shù)進(jìn)行計(jì)算，采用了“數(shù)→數(shù)→算”的形式，近似數(shù)作為一種計(jì)算手段參與。

加州版的教材，先是呈現(xiàn)一堆未知數(shù)量的小立方體，“數(shù)”是未知的，然后以10個(gè)為一組進(jìn)行估計(jì)，近似數(shù)是作為結(jié)果來呈現(xiàn)的。這里需要思考的是，具體教材如何展開，即以10個(gè)為一組進(jìn)行估計(jì)時(shí)，是否把具體數(shù)量數(shù)出來（如教材中是39），如果是數(shù)出來的，那么加州版教材采用了“物→數(shù)→數(shù)”的形式；如果沒有數(shù)出來，那是采用了“物→數(shù)”的形式，顯然這樣的形式對學(xué)生的思維要求是比較高的。從標(biāo)題“以10個(gè)為一組估計(jì)”理解，要充分發(fā)揮“10”的作用，因此我暫且把教材解讀為“物→數(shù)”的形式吧。

通過上述分析和對比不難發(fā)現(xiàn)，相對而言，人教版的編排較為“單純”，難度較低。

3.基于以上分析后的感想。

通過上述對于三個(gè)版本《近似數(shù)與估算》起始教材的比較，我最大的感覺是“這水有點(diǎn)混”。三個(gè)版本的起始教材，各有自己的立足點(diǎn)，在立意上區(qū)別明顯，進(jìn)而引發(fā)的就是課系的統(tǒng)一性不強(qiáng)。例如浙教版，起始教材就涉及到估算、近似數(shù)和“≈”，而人教版、加州版沒有涉及那么多，那么這兩個(gè)版本的教材必然要在后續(xù)的教學(xué)中去涉及這些知識(shí)，這就會(huì)造成課系發(fā)展不夠統(tǒng)一，知識(shí)螺旋上升的趨勢會(huì)不明顯。這一點(diǎn)，與其他一些課的區(qū)別還是有較為明顯的地方。

三、基于《近似數(shù)與估算》起始教材分析的教學(xué)建議

作為系列課的起始教材，關(guān)鍵在于“始”，即要做好啟蒙教育工作，這樣，才能更好地讓知識(shí)生長。就《近似數(shù)與估算》而言，如何做好啟蒙教育工作呢？基于對以上三個(gè)版本教材的分析及思考，我認(rèn)為以下幾點(diǎn)值得關(guān)注：

1.用“近似數(shù)”作為啟蒙，使學(xué)生易于理解和掌握。

估算離不開近似數(shù)，但近似數(shù)可以獨(dú)立教學(xué)。因此，在“近似數(shù)與估算”這個(gè)課系中，將近似數(shù)作為啟蒙教學(xué)較為合適（如人教版）。一方面，這樣的教與學(xué)更為“單純”，不必考慮“算”，降低了難度，易于學(xué)生理解和掌握；另一方面，這也符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，先認(rèn)“數(shù)”（近似數(shù)），再學(xué)“算”（估算）。

2.以生活情境為載體，使學(xué)生感受到近似數(shù)的價(jià)值。

數(shù)學(xué)向來被看作是“一門與人類思想中的精確部分相一致的學(xué)科”（愛因斯坦）。學(xué)生在一二年級(jí)的學(xué)習(xí)中，接觸的“數(shù)”和“算”，基本是“精確”的。現(xiàn)在要從“精確”轉(zhuǎn)向“近似”，需要有一定的“價(jià)值取向”來支撐。這種“價(jià)值取向”，體現(xiàn)在教學(xué)中就是要讓學(xué)生感受到產(chǎn)生并運(yùn)用近似數(shù)的好處，顯然，生活情境是一個(gè)很好的載體。通過生活情境，使學(xué)生感受到生活中運(yùn)用近似數(shù)的情況，進(jìn)而感受到近似數(shù)的價(jià)值。

3.以“取整”為近似方法，并借助數(shù)直線感受接近。

求得一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，一般采用四舍五入或取整，其本質(zhì)都是“接近”。相對而言，四舍五入的思維層次更高一些。因此，作為近似數(shù)的啟蒙教學(xué)，以“取整”為近似方法，是一個(gè)好的選擇。同時(shí)，為了使學(xué)生能更好地理解“接近”這個(gè)本質(zhì)，建議借助數(shù)直線使學(xué)生能直觀感知。在產(chǎn)生過程上，建議采用“數(shù)（準(zhǔn)確數(shù)）→數(shù)（近似數(shù)）”的形式，在數(shù)據(jù)的選擇上，要采用更能體現(xiàn)“接近”的數(shù)據(jù)，如人教版的9985→10000。