閱讀質疑創新
——《圓錐的體積》教學實踐與思考

陳繼輝

【教學內容】

浙教版六年級下冊第68、69頁。

【教學過程】

一、預習反饋，質疑揣摩

1.交流圓錐體積的推導。

預習單

（1）閱讀課本，畫一畫關鍵信息。

（2）想一想：課本上的圓錐體積公式是怎么來的？

（3）你還有什么問題？

師：課前我們已經預習了，哪位同學來說說圓錐的體積是怎么推導的？

生：找一個等底等高的圓柱，通過用圓錐往圓柱中倒水正好倒滿三杯的實驗，推導出圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

2.質疑揣摩。

師：為什么在研究圓錐體積時要選擇用圓柱？

生：因為在已經學過的圖形中，圓柱與圓錐比較接近，“長”得有點像。

師：那么圓錐的體積和什么有關？怎么想到與底和高有關？

生：我們發現當底不變高變化時，圓錐體積發生變化；當高不變底在變時，體積也發生變化。

師：大家有問題想問嗎？

生：為什么要選擇等底等高的圓柱呢？

生：控制變量越少，實驗越好操作。其他量不變，只看兩個變量之間的關系，便于研究。

師：很好，我們在研究問題時要學會去質疑。長方形、三角形旋轉一周可以得到圓柱和圓錐，猜一猜、估一估圓柱和圓錐之間的體積關系。

生：旋轉得到了圓柱和圓錐，我估計圓錐的體積沒有等底等高的圓柱體積的一半大。

3.實驗操作。

教師演示：等底等高的圓柱與圓錐進行倒水實驗演示。

師：等底等高的圓柱和圓錐，如果在圓錐中裝滿水，倒到圓柱中一次，圓柱中水的高度與圓柱的高是什么關系呢？

生：圓柱中水的高度是圓柱高的三分之一。

4.創新提升。

師：還有其他方法推導圓錐的體積公式嗎？

生：我還可以通過倒沙子的實驗進行推導。

生：我在課外書上見到過另外的方法，它是通過測量得到的。

師：我們在學習的過程中，不能只是接受，還要想想有沒有其他的方法，要嘗試創新。還有問題想問嗎？

生：這個圓錐體積公式以前也是這樣的嗎？

師：這個問題提得真好！以前是不是這樣的呢？現在和以前有沒有什么不同呢？這就要求我們會質疑，包括質疑課本，這樣的思考對學習很重要。

【設計意圖：本環節讓學生經歷自主閱讀學習，復述再現圓錐體積推導過程，并引導學生提問，感知圓錐體積與圓錐的高和底面積有關，估計圓錐體積與等底等高圓柱體積之間的關系；通過實驗進一步明確圓錐體積與等底等高圓柱體積的關系。學生普遍已知圓錐體積公式及典型推導過程，在此基礎上引導學生理解、質疑文本知識，培養發現問題、提出問題的能力，引發深度學習。】

二、閱讀交流，拓展提升

1.閱讀材料一。

師：我們來看看，古人是如何來推導圓錐體積公式的？請大家拿出學習單，自主閱讀材料一。

（閱讀要求：重點句畫一畫、關鍵詞圈一圈、疑問處打問號）

我國古代勞動人民早在2000多年前，就會計算不同形狀物體的體積。《九章算術》第五章《商功》中就記載了圓錐體積的計算方法是：“周自相乘，以高乘之，三十六而一”。“周自相乘”就是說底面周長乘以底面周長。“以高乘之”就是用圓柱的高來乘以剛才的積，“三十六而一”就是用剛才算出的結果再除以三十六。換字母來表示，半徑用字母r表示，高用字母h表示，那么底面周長就是 2πr。“周自相乘”就是2πr×2πr，“以高乘之”就再乘以高，就是 2πr×2πr×h，最后“三十六而一”再除以 36，變成了2πr×2πr×h÷36。運用商不變性質，依次去除。圓錐體積是r×r×h。這個是由于當時π的取值為3，沒有現在計算得那么精確。

師：有誰找出答案了？

生：古時候是用公式2πr×2πr×h÷36 來進行計算的。

師：你閱讀很認真。老師還看到你用了圈一圈、畫一畫關鍵詞句的方法，大家覺得怎么樣？

生：這個方法真好。以后我們閱讀時也要學著這樣圈一圈、畫一畫。

師：古時候與現在兩種算法，從最終結果看起來比較接近。你們還有什么問題想問嗎？

生：這個體積公式是怎么來的？

生：為什么古時候用底面周長與高來算圓錐體積？這樣計算對不對呢？

師：會去揣摩、質疑閱讀內容了，給同學們點贊。

生：可能是古時候為了滿足生活需要，測量不夠準確。

生：因為周長與高比較好測量。

師：是的，以前結合生活實物，反復測量，取一個大概的數量就可以，沒有精確度的要求。另外，我們要學會去質疑、揣摩課本上的結論以及公式推導過程。

【設計意圖：在實際閱讀的過程中，教師指導閱讀，反思、點評閱讀的方法，不僅在于“畫一畫重點，圈一圈關鍵詞”以提煉信息，本質上要經歷質疑、遷移和改造的思維過程，從而發展批判性思維能力。另一方面，拓展學習圓錐體積的數學文化背景，提升數學素養。】

2.閱讀材料二。

師：同學們，節假日出去玩嗎？看過金字塔嗎？

生：看過，很好玩。

師：請同學們運用剛才閱讀的方法，試著來閱讀材料二。

埃及金字塔始建于公元前2600年以前，共有70多座，大部分位于開羅西南吉薩高原的沙漠中，是世界公認的“古代世界七大奇跡”之一。以胡夫金字塔最為出名。現高137米，塔的4個斜面正對東南西北四個方向。底部四邊幾乎是正北、正南、正東、正西，誤差更少于1度。這般準確的方位絕不是偶然定出來的，考古學家認為是建筑師以右框星為指標定出來的。它的塔基呈正方形，每邊長約230米。

（學生自主閱讀，圈一圈、畫一畫重點詞句）

師：誰來說說，你了解到了哪些信息？

生：我了解到胡夫金字塔的塔基是邊長為230米的正方形，塔高137米。

（電腦演示胡夫金字塔的數學模型）

師：塔基呈正方形是什么意思？高是什么？

生：下底面是正方形，高是底面中心到頂點的距離。

師：有問題想提問嗎？

生：四棱錐有什么特點？

生：四棱錐的體積怎么求？

師：先看第一個問題。四棱錐有什么特點？

生：四棱錐有一個頂點，底面是一個四邊形，材料二中的四邊形比較特殊是個正方形。

師：第二個問題，你們覺得怎么計算四棱錐的體積？

生：底面積乘高除以3。

生：四棱錐的體積公式一定是這樣的嗎？

生：這個公式是怎么來的？與圓錐體積公式的推導一樣嗎？

生：我覺得四棱錐體積公式可能要借助等底等高的長方體來推導。

師：你是怎么想到的？

生：因為在推導圓錐的體積公式時我們借助了等底等高的圓柱，所以，我覺得四棱錐可以借助等底等高的長方體。

師：到底是不是這樣呢？我們可以有什么方法驗證？

生：我們可以通過倒水的方法來驗證。

（教師利用課件動畫演示倒水實驗）

師：看來四棱錐的體積等于底面積乘高除以3，如果下底面變成五邊形呢？它的體積可以怎么算？

生：底面積乘高除以3。

師：有問題問嗎？

生：八邊形呢？

生：也是底面積乘高除以3。

生：一直變大，n邊形呢？

生：底面積乘高除以3。

師：底面邊數不斷變大，無限大，慢慢變成什么了？

生：底面變成了圓，整個圖形變成了圓錐。

師：日常生活中，哪些地方見到過四棱錐？

生：螺絲刀口……

【設計意圖：拓展、貫通圖形知識，基于閱讀材料，創設進一步提問研究的空間。由圓錐體積計算與推導，類比推理四棱錐的體積，利于學生形成聯系的觀點，發展類比推理能力。從四棱錐生發，想象、分析底面是正多邊形直至圓形的錐體體積，從有限到無限，培養概括創新的能力，發展空間觀念。】

三、課堂總結，回歸整理

師：你有什么收獲？我們是怎么學習的？

生：我們以后在預習課本的過程中，需要想一想書上的方法是怎么來的，為什么用這種方法？

生：我們要學著質疑數學課本上的結論，還要想一想有沒有別的方法解決問題。

師：你們總結得真好！今天這節課我們先是用圈一圈、畫一畫等閱讀方法，去揣摩書本編寫意圖，接著質疑書本結論，今后我們也要學著用這樣的方法去解決數學問題。

【設計意圖：本環節再現知識，整理、回顧學習的過程，培養學生反思、總結的能力，學會學習。】

【編輯點評】

《圓錐的體積》一課是在學生認識了長方體、正方體、圓柱體等立體圖形，掌握了圓柱和圓錐的特征，會計算圓柱的表面積、體積的基礎上進行教學的。以往教學一般只是引導學生在倒水實驗的基礎上進行公式推導，而本課設計不僅關注公式的由來，還有意選取了兩則課外閱讀材料作為引導學生閱讀、質疑、拓展研究體積的課題，在相關的知識和方法之間有效地架起思考的橋梁，促進學生深度學習。

材料內涵豐富，可從多個層面解讀。一是知識層面。閱讀材料一，將古代算法與現代算法作比較，并通過演算轉化，再次強化了基本計算公式閱讀材料二，從圓錐遷移到棱錐，又從棱錐發展到圓錐，貫通有限和無限，實質是生成了對錐體體積計算的概括。二是思維層面。閱讀材料一，理解不同算法，拓展學生思路，培養質疑好問的習慣；閱讀材料二，則運用了類比推理的方法，實現計算知識和推導方法的遷移。三是學習信念層面。閱讀材料一啟示學生：運算公式并不是從天而降、刻板規定的，可以通過不同途徑的探索得到，并逐步合理、優化、精準。而閱讀材料二，則有利于學生形成聯系的觀點。

同時，陳老師注重學習內容與閱讀方法緊密結合。學生通過自主閱讀，經歷比較、分析、推理、概括等思維過程，實現閱讀理解水平從簡單復述到深入概括，關注的不是文本的傳遞，而是借助文本來拓寬認知背景，引發對公式的深層理解，創設知識、方法應用的新空間，培養發現問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力。