挖掘數學本質提高數學素養
——《平均數》教學

金朦朦 葉仙花

【教學內容】

浙教版五年級上冊第42～44頁。

【教學過程】

一、創設情境，激趣引入

師：這是六（1）班代表和六（2）班代表在投籃比賽中的成績。哪個班投籃水平高？為什么？

生：六（1）班投籃水平高，因為平均數高。

生：總成績是六（2）班的水平高，但人數不一樣，不能這樣比較。

師：能具體說說嗎？

生：如果人數相等，可以比較總數，人數不相等時不能比總數。

師：人數不一樣的時候我們可以采用求平均數來解決問題的方法。

【設計意圖：教師借鑒教材設計，用“人數不等”的情境，引起求取平均數的需要。這里，學生對“平均數”的理解尚混同于“平均”的數，“平均”的數既是教學要借力的基礎，也是教學應提升的地方。】

二、理解平均數的意義與計算方法

1.認識平均數。

（1）平均數算法的理解。

師：什么是平均數？

生：總和÷人數=平均數。

師：把所有成績合并起來，即總數，再平均分，也就是假定每個人一樣多，這個看起來一樣多的數就叫平均數。平均數這個統計量可以較好地代表整體水平。

師：六（1）班平均數是多少？

生：（8+6+9+9）÷4=8（分）。

（2）平均數“虛擬性”的理解。

師：六（1）班平均數“8分”剛好等于①號同學的成績“8分”。這兩個“8分”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。①號同學是真的投了8分，平均數是剛巧等于8分，是把大家的分數勻一勻的結果。

師：平均數“8分”代表的是六（1）班的整體水平，而①號的“8分”是這位同學的個人水平。

【設計意圖：從算法角度初步理解平均數，結合圖像，引導學生從“平均分”過渡到“勻一勻”。體會平均數與實際收集到的數據有不同，平均分是對整組數據分析的結果。】

2.理解平均數。

（1）平均數意義的滲透——“移多補少”。

師：觀察六（1）班的條形統計圖，老師把平均數表示出來了，你發現了什么？

生：從③號、④號的9分中各拿出1分給②號，就是平均數8。

生：比平均數多出的部分和比平均數少掉的部分一樣多。

師：把四個數據中比較大的一些數分一部分給小的數，得到的就是平均數。這其實是我們學過的“移多補少”，同樣也可以使數據變得一樣多，找到平均數。

（2）平均數意義的剖析——“變數游戲”。

師：如果將其中一個數變一變，平均數會發生變化嗎？我們來玩一個“變數游戲”。

一變：②號由6分變為10分

生：②號拿出1分給①號，平均數是9，變大了。

師：平均數有沒有可能變成10？為什么？

生：不可能，因為其他數都比10少，最高的10要分給其他較少的。

師：移多補少，平均數肯定比最高分低。

二變：②號由6分變為2分

生：平均數變小了。

師：有沒有可能變小到2？為什么？

生：其他的數都比2大，移多補少，2要變大。

師：所以平均數肯定比最低分高。

師：從②號數值的變化，你有什么想說的？

生：平均數不可能是最低分，也不可能是最高分。

生：平均數肯定在最高分和最低分之間。

生：一個數變小了，平均數跟著變小；一個數變大了，平均數也跟著變大。

師：看來一組數據中任意一個變化對平均數都有影響。

三變：增加一組數據⑤，1分

生：增加了⑤號，是1分，平均數變小了。

師：為什么增加一個數，平均數反而變小了？如果⑤號是2分、3分呢？至少是幾分，平均數才不會下降？

生：增加的數小于平均數，平均數變小；增加的數等于平均數，平均數不變；增加的數大于平均數，平均數變大。

師：請快速判斷六（2）班的平均數可能會是幾？

六（2）班的平均數可能是：

A.10分 B.3分 C.7分 D.6分

師：為什么不選A、B？平均數到底是多少呢？

生：（5+3+8+8+8+10）÷6=7（分）。

師：所以六（1）班的整體水平用8分表示，六（2）班的整體水平用7分表示，六（1）班投籃水平比六（2）班要高一些。

【設計意圖：結合圖示，開展“變數游戲”，通過猜想、驗證，體會數據的變化對平均數的影響，感知平均數的多項性質，包括平均數與極值的關系、大于平均數的部分與小于平均數的部分之間的關系，以及新增數據和平均數的關系等，突破本節課教學的重難點。】

3．感受極值的影響。

師：六（2）班一位同學投了最高分10分，為什么平均數反而會更低呢？

生：因為②號才3分，拉低了平均數。

三、應用拓展

師：根據兩個班投籃的整體水平，快速判斷并說明理由。

（1）六（1）班③號的投籃水平一定比六（2）班⑤號的投籃水平高。（錯）

（2）總體上說,六（1）班比六（2）班投籃水平高一點。（對）

（3） 六（2）班有一位同學的投籃水平是10分（10=7+3），那么，班里一定有一位同學的投籃水平是4分（4=7-3）。（錯）

【設計意圖：基于投籃情境，進一步提出問題，引導學生體會平均數的統計意義，強調平均數代表的是整體水平，不是個體水平。所謂的移多補少也不是個別的移多補少，而是“高于平均數的部分的和=低于平均數的部分的和”。】

四、綜合運用

1．跳繩測試。

四位同學參加跳繩比賽，平均每人跳了128個，其中強強跳了150個，聰聰跳了130個，佳佳跳了129個。

師：迪迪跳得比平均數多還是少？為什么？

生：少，其他人都比平均數多，多出的部分都要給迪迪才能使迪迪變到平均水平。

師：如果佳佳只跳了120個，迪迪跳的比平均數多還是少？估算迪迪跳的個數。

生：比平均數少！強強比平均數多22個，聰聰比平均數多2個，佳佳比平均數少8個，還是多出的多，迪迪肯定比平均數少。

師：迪迪跳了多少個？

生：128×4-150-130-120=112（個）。

生：移多補少法：（150-128）+（130-128）=24 （個），24-（128-120）=16（個），128-16=112（個）。

2．達人秀歌詠比賽。

師：誰是冠軍？求總數和求平均數，都可以？

生：總數算出來都是42分，平均數都是7分，分不出高低啊！

師：真的嗎？你覺得從分數看，誰唱得更好些？

生：可能2號吧。1號選手的爭議很大，評委中最低只給了2分，最高10分。

生：可是1號選手除了最低的2分，其余評委給的都比較高。

師：現實生活中為了打分更合理，總要分別去掉一個最高分和一個最低分，你見到過嗎？現在算算看，誰在比賽中勝出？

3．立定跳遠比賽。

生：去掉最高分，去掉最低分，得到最后的成績一樣。

生：計算平均分，聰聰獲勝。

師：參加過跳遠比賽的同學來說說，誰會獲勝？

生：跳遠取最高分。

師：實際生活中，立定跳遠比賽是記最高成績的，不算平均數。所以，看到一組數據，不能全用平均數來表示，而是要根據實際情況靈活選擇！

【設計意圖：進一步聯系生活實際，促進對平均數的理解。既強調平均數的一些特性，也體會平均數的一些局限性，以及與需要解決的問題之間的實際匹配度。培養學生思維的深刻性與批判性及應用意識。】

【點評】

隨著課程研究的深入，平均數教學從傳統的側重于對算法的識記和應用，逐漸演變為對“平均數是一種統計量”的本質的理解。

教師在情境和問題的設計上能夠緊緊扣住平均數的本質，頗見功底。

投籃情境引入，由于人數不同，簡單地聯想到求取平均的數，帶出平均數的算法；繼而討論“平均數8分”與“實際得8分”的差別，引導學生體會此統計分析的“平均”（學生所謂“勻一勻”）不能簡單等同于先前除法計算的“平均分”，還另有一重“整體”水平的意義。

創設“變數”游戲，進一步體會組內數據對于平均數的影響，感知統計意義的平均數的各種性質，如介于極值之間，“多出的數=缺少的數”等等；問題有正有逆，均指向意義的理解。

進而，根據平均數推斷個體和整體情況，有效地澄清了一些誤解、偏見，而在思辨、澄清的過程中，又更加了解平均數與個別數據及數據整體之間的關系。

練習是三個校園生活中非常熟悉的比賽情境。跳繩比賽從算法上是已知平均數，逆向計算個別數據，但教師增加估計平均數的問題后，立即指向了意義的理解，也直接催生了兩種不同的解法；歌詠比賽，體會平均數的局限性及為克服這些局限常用的一些補充手段；跳遠比賽突破思維定勢，先結合實際，想到取最高值，又返回數據，體會平均數對不同特點的數據組的適用性和說明性。這些練習篇幅短小，而內涵豐富，值得借鑒。