用“問題提出”測量學生的數學學業成就

謝圣英　何煜煊

【摘 要】“問題提出”受到研究者越來越多的關注，問題提出能力與問題解決能力密切相關。通過學生進行問題提出來測量和評價他們的數學學業成就具有一定的研究基礎和可行性。教師可以通過學生提出的數學問題來了解他們對數學知識的理解及掌握情況，可以把它作為一種有益的補充，融入日常的測評中。

【關鍵詞】問題提出；數學學習；學業測量

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）67-0016-05

【作者簡介】1.謝圣英，湖南師范大學（長沙，410081）數學與統計學院副教授，碩士生導師，博士；2.何煜煊，廣東省珠海市橫琴新區第一中學（廣東珠海，519031）教師，二級教師。

近年來，“問題提出”越來越受到研究者的關注，其研究成果也不斷地推動教師將問題提出活動更多地運用到數學課堂教學中。[1]目前，學生的數學學業成就幾乎全是通過讓學生解決問題（俗稱解題）來測量的。但是，研究者們發現學生問題解決成功與否和他們問題提出能力是聯系在一起的[2]-[4]，讓學生提出問題甚至可以提供更多的關于學生數學學習的有用信息。[5]當然，需要指出的是，我們這里的“問題提出”是指“學生能夠根據給定的問題情境提出問題，而對提問者是否能解答此題不做特別的要求”。

一、問題提出能力與問題解決能力密切相關

基爾帕特里克認為問題提出者所提問題的質量，在一定程度上可以表征其相應的問題解決能力，并對此做了理論性論證[6]。另外一些研究者則開展了一系列實證研究來探究問題提出能力與問題解決能力之間的關系。如伊勒頓（Ellerton）發現數學水平高的學生所提出的問題相對水平低的學生，運算更為復雜，涉及的數系更廣泛，解答步驟更多；同時，他還發現高水平的學生在提出問題和解決問題兩個方面都優于低水平的學生。[7]類似地，西爾弗和蔡金法他們發現初中生在問題解決上表現較為出色的學生能夠提出更多、更復雜的數學問題。[4]

如果說上述發現僅是針對某一個國家或地區的學生，那么蔡金法和斯蒂芬則在他們的研究中加入了跨文化元素。[8]他們選取了98名美國六年級學生和155名中國六年級學生，設置了3套情境相同的問題提出和問題解決測試任務。結果發現中美學生都能夠提出多種多樣的問題，美國學生比中國學生能夠提出更多的拓展型問題。與美國學生相比，中國學生的問題解決和問題提出之間聯系更密切。此外，蔡金法等還從另一個視角研究了問題提出和問題解決的相關性，即通過測試問題提出能力來考察不同課程對學生學習的影響；研究者也設置了兩套數學情境相同的問題提出和問題解決測試任務。結果發現學習不同版本課程的學生，答題正確率越高，越能夠提出有效的問題，反之亦是。[3]

以上這些研究表明，不同國家和地區、不同數學課程下的學習者，他們的數學問題提出能力與問題解決能力之間都存在著密切的聯系。通過測量學生的數學問題提出能力來考察他們的數學學業成就具有一定的科學研究基礎。

二、用問題提出測量學生數學學習成就的優勢

數學問題提出是一個特別有用的工具，可以用來了解那些解決常規問題快速而準確的數學天才學生。因為通過研究他們提出問題的細節和風格，可以更清晰地知曉學生的數學經驗和思考。[7]數學問題提出的難度和新奇程度是沒有限制的，沒有上限也沒有下限。同樣的情境下，數學天才學生能提出數學問題，數學薄弱的學生也能提出數學問題，這也正是數學問題提出的優勢所在。通過它，我們能了解數學問題解決所不能了解到的學生思維狀況。

例如，科茨歐珀羅斯和科迪利用問題提出作為一種形成性評價來測量7年級學生的數學學習進步情況。此外，問題提出給予學生一種繪制自己學習路徑的感覺。[5]學生提出的問題與他們即將學習的內容聯系起來，學生可以獲得更多的學習樂趣和動力。

數學問題提出同樣可以用來考察學生數學內容知識的學習情況，包括判斷數學知識的掌握和理解程度。有研究者讓學生完成3道問題提出任務以及50道改編自《美國國家教育進展評估（NAEP）》的數學題目作為數學測試。他們發現上海和美國微積分先修的學生都沒有提出多少概率問題，因為這兩部分學生都還沒有學概率數學知識。上海組學生才學完數列，所以他們覺得第三個和數列相關的問題提出任務比較容易。這表明學生的數學內容知識會影響到他們提出問題包含的數學思想的多樣性。如果沒有學過相關數學概念，學生通常就不能提出相關的問題。[9]提卡和荷西培索瓦曾用問題提出作為診斷工具來測量職前小學教師的“分數”內容掌握情況，發現他們對“分數”概念的理解有瑕疵，對一些容易引起混淆的地方處理不當。[10]

三、用問題提出測量數學學業成就的案例

下面我們分享一個用問題提出來評價學生學業成就的具體案例——用問題提出測量課程對學生學習的影響。[3]

1.任務設置。

該案例設計了兩項任務——方程組任務和圖表任務，每一項任務都包含問題提出和問題解決兩個部分。第一項方程組任務中，問題解決部分呈現了一個二元一次方程組，兩個方程式均為標準形式Ax+By=C，學生可以用任何方式來解答該方程組；問題提出部分要求學生設計一個基于現實生活情境的問題，且該問題可以用上述給定的方程組來解答。

（1）解下列方程組。

x+y=85x+7y=50

答案：x= y=

（2）詳細寫出一個基于現實生活情境的問題，要求該問題可用上述方程組解答。

第二項圖表任務中，問題解決部分呈現了一個帶網格的平面直角坐標系，并且坐標系中有一條射線，要求學生基于所給的圖形寫出一個函數表達式（限定條件：x≥0）；在問題提出部分，學生需要設計一個基于現實生活情境的問題，且該問題可以用上述給定的圖形來表示。

根據右圖1回答問題。

（1）寫出一個函數表達式（限定條件：x≥0）。

（2）詳細寫出一個基于現實生活的情境，并且該情境可以用上圖表示。

2.數據編碼。

研究者將學生所提出的問題從5個維度來考察（見表1）：學生是否努力進行問題提出，其所提問題的有效性，是否基于現實生活情境，是否反映線性關系，以及所提問題中符合所提供情境的條件個數（具體實例見表2）。在對問題解決任務進行分析時，只關注于解答的正確與否。

表2 問題提出中符合所提供情境的條件個數的具體實例

此案例通過測量被試學生的問題提出能力來考察他們的數學學習成就。結果發現，在問題提出上有出色表現的學生同樣具有較強的問題解決能力。而另一方面，從學生的問題提出能力在一定程度上可以反映他們的知識技能的掌握程度。

方程組任務考察了學生對方程式中變量概念的理解；學生需要理解當方程式中的變量取值發生改變時，因變量取值會跟著有所變化，這即自變量與因變量之間的一種函數關系。此外，學生還應當理解每個方程中變量的單位之間的關系。在圖表任務中，學生的程序性和概念性知識得以考察。要求學生找到圖形的方程，然后提出一個可以由這個圖形表示，有現實生活背景的問題。具體來說，它測量了學生對線性方程和圖象兩者之間關系的理解；學生如何在所提的問題中展現出當一條直線指向右上方時，越往右，則數值越大；還有學生如何理解y軸上的截距在現實生活中的含義，如何理解成比例、線性非成比例以及非線性三者在現實生活中的含義；在x與y之間的函數關系上，要求學生懂得x與y并非簡單地作為占位符使用，它們之間在數量上具體地聯系在一起。總之，通過圖表任務，學生對函數中變量的理解得以充分的考察。

本案例中，美國11年級學生問題提出任務的回答情況如表3，表中數據是各種特征下學生人數的百分比。圖表任務中，大約三分之二的學生嘗試提出問題，而方程組任務中，只有大約三分之一的學生嘗試提出問題。兩個任務都只有小部分學生提出了有效問題。提出至少符合一個條件的問題的學生不足20%。研究者發現那些能夠提出基于生活情境的問題，能在圖表任務中提出反映線性關系問題的學生，通常也在問題解決中表現優異。整體上看，學生提出問題的水平不高，也與他們問題提出的經驗不足有關。[10]這是研究者使用本案例中的任務，選取美國學生作為樣本測量出的結果。如果對中國學生進行類似的問題提出測量，情況是否類似呢？我們期待一線教師可以結合不同的數學內容來進行問題提出的任務設計，做一些相關的問題提出的測量研究和開發。

四、反思與展望

用問題提出測量學生的數學學業成就擁有很多優勢，為何在中國還幾乎沒有實踐過，即便在國外，也大多只用于評估學生的數學學習能力？問題提出目前之所以沒能成為一種較為通用的數學學業成就評價方式，的確是由于它還有一些困難亟待克服。其中一個主要困難在于它的評判標準較難統一。問題提出不同于問題解決的測量，后者只需要對問題解答的過程和結果正確與否給予判斷，而對問題提出的測量需要對所提的問題進行質性分析。迄今為止，我們仍沒有一套得到大家普遍公認的客觀評判標準。有學者強調需要為學生制定審美標準（aesthetic criteria）來判斷所提問題的數學質量。開發這樣的標準和傾向并運用它們，這是問題提出可以測量學習成果的經驗先決條件之一。[11]

另一個原因在于，用問題提出測量學生的學業成就的設計較為專業和復雜。首先要設計一系列的任務情境，其中要包含讓提問者進行問題提出所需的素材，這些任務情境必須涵蓋所要測量的目標和數學知識內容體系。然后再加上評價標準的設計，包括編碼分析。只有完成了這兩項任務，才能對學生進行數學學業成就的測量和評價。多數已有的編碼都偏向質性化方法。譬如，前文所提供的案例中，對被試學生所提出的問題編碼時，研究者首先將問題按照數學問題與非數學（不相關）問題進行分類，主要從提出的問題是否與所給定的情境相符的視角出發展開分析，這就是更偏于質性研究的方法。此外，大多數研究者為了深入了解問題提出者的思維過程，會在研究中采用訪談法。由于訪談法相對更費時、費力，而且對使用者的要求也比較高，所以，如果要將問題提出作為一種評價方式，廣泛地運用到教學實踐當中，我們還需要克服一些困難。比如，進一步簡化問題的編碼，教師也需進一步提升自己的實際操作能力。

總之，用問題提出能力來測量學生的數學學業成就是可行的。研究者和教師可以通過學生所提出的數學問題來了解他們對數學知識的理解及掌握情況。現階段，雖然與問題提出有關的研究多數立足于研究者的角度，其中的任務設置與數據編碼較多也僅局限于研究領域，但問題提出仍不失為一線教師可以借鑒的一種有效的學生數學學業成就評價方式。教師可以用問題提出考察學習者對數學知識掌握的情況，把它作為一種有益的補充，融入日常的測評中。作為一線教師，需要思考如何讓學生積極地參與到問題提出的活動中，作為引領者的教師如何設計此類活動，相應的課堂應該是怎樣，以及應該制定怎樣的標準來評價學生的問題提出能力。這些也是今后問題提出相關研究需要進一步關注和解決的重要論題。

【參考文獻】

[1]LEUNG S K S. Teachers implementing mathematical problem posing in the classroom： challenges and strategies[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[2]CAI J， HWANG S. Generalized and generative thinking in U.S. And Chinese students mathematical problem solving and problem posing[J]. Journal of Mathematical Behavior， 2002（04）.

[3]CAI J， MOYER J C， WANG N， HWANG S， NIE B， GARBER T. Mathematical problem posing as a measure of curricular effect on students learning[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[4]SILVER E A， CAI J. An analysis of arithmetic problem posing by middle school students[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1996（05）.

[5]KOTSOPOULOS D， CORDY M. Investigating imagination as a cognitive space for learning mathematics[J]. Educational Studies in Mathematics， 2009（03）.

[6]KILPATRICK J. Formulating the problem： Where do good problems come from？ In SCHOENFELD A H （Ed.）， Cognitive Science and Mathematics Education[M]. Hillsdale， NJ： Lawrence Erlbaum Associates，1987.

[7]ELLERTON N F. Childrens made up mathematics problems： A new perspective on talented mathematicians[J]. Educational Studies in Mathematics， 1986（03）.

[8]CAI J， HWANG S. Generalized and generative thinking in U. S. And Chinese students mathematical problem solving and problem posing[J]. Journal of Mathematical Behavior， 2002（04）.

[9]VAN HARPEN X Y ， PRESMEG N C. An investigation of relationships between students mathematical problem-posing abilities and their mathematical content knowledge[J]. Education Studies in Mathematics， 2013（01）.

[10]TICH M， HOPESOV A. Developing teachers subject didactic competence through problem posing[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[11]CRESPO S， SINCLAIR N. What makes a problem mathematically interesting？：Inviting prospective teachers to pose better problems[J]. Journal of Mathematics Teacher Education， 2008（05）.