范數(shù)正則化約束雷達角度維高分辨方法研究*

張 良,吳海兵,周 杰,陶海軍

(陸軍軍官學(xué)院,合肥 230031)

0 引言

雷達分辨率包括距離和橫向分辨率,其中距離分辨率由信號帶寬決定;橫向分辨率即角度分辨率,則由天線波束寬度所決定。雷達分辨率直接影響了目標探測的最終精度和準確度,是雷達性能參數(shù)的最重要的指標之一[1]。

實現(xiàn)雷達距離維的高分辨率,可以采用大帶寬信號的發(fā)射方式,然后利用脈沖壓縮及相關(guān)的超分辨率技術(shù)獲得;實現(xiàn)角度維的高分辨率,傳統(tǒng)方法通常采用多普勒波束銳化(doppler beam sharpening,DBS)和合成孔徑雷達(synthetic aperture radar,SAR)技術(shù)[2],即利用雷達與目標之間的相對運動產(chǎn)生的變多普勒頻率來獲得。但是DBS和SAR存在前視盲區(qū)[3],這是因為雷達回波的多普勒頻率變化率在前視模式下幾乎為零,直接造成角度分辨效果的急劇下降。因此實際雷達系統(tǒng)為了兼顧前視分辨能力,常采取實波束角度分辨技術(shù),這時雷達天線孔徑大小決定了角度分辨能力[4]。但是由于實際系統(tǒng)研制成本的限制,很難將天線孔徑做成滿足方位精度需求的尺寸。

經(jīng)典的實波束雷達測角技術(shù),包括基于解卷積技術(shù)的測角方法[5]和單脈沖雷達和差波束測角方法[6]。其中解卷積技術(shù)利用對發(fā)射的雷達信號和接收的回波數(shù)據(jù)進行解卷積處理回溯待求解的目標角度信息。由于單通道雷達的天線方向圖存在空間頻域的“零點問題”,通常導(dǎo)致解卷積技術(shù)不適定(也稱病態(tài)的),造成求解結(jié)果不穩(wěn)定;單脈沖雷達測角技術(shù)的核心思想是通過提取回波和差通道接收信號的差異信息,進行目標角度的有效測量,通常具有較高的測角精度。但當(dāng)波束中同時出現(xiàn)多個目標時,測角性能會急劇下降,此時只對特殊構(gòu)型的目標角度分辨效果比較好,因此也存在一定局限性。

根據(jù)信號建模過程可知,實波束雷達的接收回波是由天線方向圖和目標角度信息進行卷積的結(jié)果。因此在對時域積分回波方程進行矩陣和矢量化的離散處理之后,可以采用經(jīng)典的最小二乘(least square,LS)方法進行求解目標方位信息。然而,上述方法在噪聲情形下通常是不適定性的[7],導(dǎo)致求解結(jié)果存在嚴重偏差。據(jù)此,文中考慮采用范數(shù)正則化技術(shù)來解決上述問題。首先基于最小二乘求解方式分析噪聲條件下求解該線性方程組存在不適定性問題,接著提出了基于TSVD[8]及Tikhonov[9]正則化方法的測角技術(shù),即通過修正求解模型的方式減弱解的不適定性問題,實現(xiàn)對真實解的近似或逼近。

最后,利用雷達待探測目標的在空域上往往是稀疏的(尤其是對空目標,它們的數(shù)目通常是有限的)先驗信息,進一步約束求解目標的信號模型,將雷達角度維的信號參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號表示問題,并提出基于正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法[10]的高精度測角技術(shù)。仿真結(jié)果表明,相比經(jīng)典雷達測角方法,所提方法均具有較高的角度求解精度,并在較低信噪比條件下能夠?qū)崿F(xiàn)角度維的重構(gòu)效果。

1 信號模型

實孔徑雷達的角度分辨率主要由天線波束寬度決定,通常以波束的3 dB寬度作為衡量標準,因此可以采用發(fā)射極窄雷達波束的方法來改善目標的角度維分辨效果,但是這需要研制非常大口徑的天線,一方面研制成本非常高,另外一方面考慮實際可實現(xiàn)性,這種方式的的波束銳化往往是有限的。因此實際中可以采用解卷積方法,通過在軟件方面可以改善目標的分辨率。實孔徑雷達測角的基本原理如圖1所示。

從圖1可以看出,當(dāng)兩個目標相距較近時,目標散射信息和天線方向圖卷積的結(jié)果會在時域上疊加,接收的目標回波是經(jīng)過帶通天線方向圖的調(diào)制結(jié)果,此時無法將兩個目標進行區(qū)分。但是利用解卷積處理等信號處理手段,可以使得多個目標的回波信號波峰分裂,實現(xiàn)方位維上的多個目標分辨能力。

設(shè)目標方位信息為x(t),雷達天線方向圖函數(shù)為h(t),雷達接收回波信號為y(t),接收機的高斯白噪聲為n(t),雷達以T為周期對回波進行采樣,則在時間域上滿足如下關(guān)系

(1)

依據(jù)空時等效性,在空域上有(雷達角度掃描間隔為Δθ=vT)

(2)

式中：n=1,2,3,…,N；N為采樣點數(shù)。容易看出式(1)與式(2)是一致的。設(shè)采樣間隔為Δθ,通過對回波信號進行采樣,雷達接收回波信號建模為

y(nΔθ)=x(nΔθ)·h(nΔθ)+n(nΔθ)

(3)

因此,雷達前視回波數(shù)據(jù)y(θ)是目標角度信息x(θ)與天線方向圖h(θ)的卷積結(jié)果,即

y(θ)=x(θ)·h(θ)+n(θ)

(4)

對式(4)進行傅里葉變換,可以得出

Y(ω)=X(ω)·H(ω)+N(ω)

(5)

根據(jù)逆濾波原理求得目標方位向信息為

IFFT{[Y(ω)-N(ω)]/H(ω)}

(6)

接著,可用常見解卷積方法,如CID[11],FCID[12],FCID-CID[13]算法求解式(6),進而得出角度維目標信息,但這些方法的測角效果在信噪比較低情形下通常并不理想。

2 基于范數(shù)正則化約束的測角技術(shù)研究

本節(jié)將求解方位角度信息轉(zhuǎn)化成線性方程的求解。首先基于最小二乘求解方式分析了噪聲條件下求解該線性方程組存在不適定性問題。接著提出了基于TSVD及Tikhonov正則化方法的測角技術(shù),可以較好地修正不適定性問題的同時,獲得對原始解的逼近值。最后基于實際場景中目標個數(shù)有限的情形(即利用目標稀疏先驗信息),引入稀疏重構(gòu)技術(shù)。提出基于OMP算法的測角方法,既能克服其病態(tài)性問題,又具有較快的重構(gòu)速度及較小的重構(gòu)誤差。

2.1 不適定問題分析

將式(4)轉(zhuǎn)換成矩陣形式,即

y=Hx+n

(7)

為討論方便,這里假設(shè)回波測量值y∈CN×1,系統(tǒng)觀測矩陣H∈CN×M,待重構(gòu)目標矢量x∈CM×1,噪聲矢量n∈CN×1。

已知y和H,對x進行求解,可以得出式(7)對應(yīng)的最小二乘解為

x=(HTH)-1HTy

(8)

對H進行奇異值分解如下式所示

(9)

(10)

下面首先介紹不適定問題的定義[7],若觀測矩陣H的奇異值滿足

1)奇異值逐步逼近于零。

2)最大奇異值跟最小奇異值的比值非常大。

則稱為不適定性(ill-posed)問題(或病態(tài)性問題),其中最大奇異值與最小奇異值的比值定義為條件數(shù)。因此H的條件數(shù)越大,則病態(tài)性越嚴重,由噪聲引起的解的擾動也越大。

正則化約束是一種可以較好地解決不適定性問題,并獲得穩(wěn)定真實解的近似值的重構(gòu)方法。下面介紹本文采用的兩種正則化技術(shù)——TSVD和Tikhonov。

2.2 基于正則化技術(shù)的角度信息提取方法

1)TSVD正則化方法

2)Tikhonov正則化方法

正則化方法的一般形式如下所示

Tikhonov正則化方法就是引入的穩(wěn)定泛函為P(x)=‖x‖2(后續(xù)簡稱為L2范數(shù)方法),此時式(7)應(yīng)轉(zhuǎn)換為下式

(11)

接著,對式(11)進行廣義奇異值分解,可以得到

(12)

由前面分析可知,選擇合適的正則化參數(shù)對最終求解結(jié)果是非常重要的。正則化參數(shù)的選取方法目前主要包括3種[20]:離散偏差準則法,廣義交叉驗證法和L曲線法。由于篇幅限制,這里就不再展開介紹。

2.3 結(jié)合目標稀疏先驗約束的角度信息提取方法

針對角度維高分辨問題,在觀測量y含有噪聲的情況下,當(dāng)所求的解具有稀疏性時,基于最小二乘原理的L2范數(shù)正則化方法中的穩(wěn)定泛函項只能體現(xiàn)解x的光滑性(也稱連續(xù)性),不能反映出解x的稀疏性,因此利用L2范數(shù)正則化方法恢復(fù)結(jié)果存在較大的誤差。

對該類稀疏目標恢復(fù)的情形,文中考慮引入稀疏重構(gòu)算法,實現(xiàn)方位向稀疏目標的高分辨角度信息提取。具體做法為:利用過完備字典方法將式(7)轉(zhuǎn)化為稀疏信號表示問題,并利用近年來流行的壓縮感知技術(shù)(compressed sensing,CS)[14],將角度信息提取轉(zhuǎn)化為稀疏信號恢復(fù)優(yōu)化問題,可以得到更高的信號重構(gòu)精度。總所周知,CS技術(shù)采用非自適應(yīng)測量方式,能夠大大減少了實際系統(tǒng)的數(shù)據(jù)測量值,目前已廣泛應(yīng)用至雷達成像、譜估計、目標檢測等多個領(lǐng)域。

文中采用正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法,這是因為OMP本身屬于貪婪算法的一種,具有非常快的重構(gòu)速度,其本質(zhì)是基于稀疏分解的思想:即在每次迭代中通過匹配找到與殘余回波最相似的元素,并通過最小二乘方法去除之前所找到的所有元素的影響,再對正交殘余回波進行迭代匹配,直至算法收斂。該算法的具體流程參見文獻[10]。

3 仿真結(jié)果與分析

仿真實驗采用辛格(Sinc)型天線方向圖,3 dB波束寬度為1.2°,兩個目標角度相差0.606°(詳細見圖2～圖4中的紅點),天線掃描范圍:-10°～10°,掃描速度為40°/s,脈沖重復(fù)頻率RPF為2 000 Hz。

圖2是最小二乘法在信噪比(signal to noise ratio,SNR)為60 dB和30 dB時結(jié)果的對比圖。可以看出其在高信噪比的情況下反演效果很好,但是在信噪比降低至30 dB后,噪聲對解的影響明顯能夠看出,這體現(xiàn)出之前陳述解的不適定性問題,因此在求解過程中加入一定的約束限制是非常必要的。

圖3為在信噪比為20 dB下使用最小二乘法、TSVD(包括僅截斷較小的奇異值和同時截斷兩端過大過小的奇異值兩種情形),以及Tikhonov得到的重構(gòu)結(jié)果。

可以看出:在噪聲較大時,最小二乘法的反演誤差很大;利用TSVD截斷過小的奇異值一定程度上可以抑制噪聲的影響,利用TSVD同時截斷過大和過小的奇異值的方法可以很好的抑制噪聲,但是在兩目標之間積累噪聲,一定程度上會降低角度維分辨率。相比而言,Tikhonov方法展示了較為穩(wěn)健的重構(gòu)效果,但恢復(fù)的目標散射系數(shù)存在一定的偏差。

仿真條件與之前保持一致,圖4為OMP方法的測角結(jié)果,可以看出加入目標稀疏約束先驗之后,基于稀疏重構(gòu)技術(shù)的測角技術(shù)具有最好的分辨效果。

下面采用蒙特卡洛方法(共實驗50次,然后取平均)獲取以上幾種方法的性能曲線。圖5是反演結(jié)果與真實解的均方誤差(mean squared error,MSE)隨信噪比變化的曲線圖,容易得出:1)所有曲線的趨向均是下降,這是由于隨著信噪比的提高,反演結(jié)果更加接近真實解。2)TSVD的誤差曲線與最小二乘法的誤差曲線變化相似,但是始終處于其下方,這很好地驗證了范數(shù)正則化的優(yōu)勢。3)在信噪比為25 dB時,各方法的反演效果優(yōu)劣排序為OMP算法,L2范數(shù),FCID算法,TSVD,最小二乘法,維納濾波。

圖6則是在信噪比為15 dB情形,OMP和L2范數(shù)方法的誤差函數(shù)隨著目標數(shù)目(稀疏度)變化的情況,很明顯OMP具有更高的測角精度,這與之前的分析也是一致的。

4 結(jié)論

文中首先對經(jīng)典雷達測角技術(shù)——基于解卷積技術(shù)的測角方法和單脈沖雷達和差波束測角方法的優(yōu)缺點進行了討論。接著詳細分析了求解原始信號模型時存在不適定性問題,并提出基于TSVD及Tikhonov范數(shù)正則化約束的測角技術(shù),使得修正后的信號模型在保證解的真實性同時,較好地克服傳統(tǒng)解卷積技術(shù)帶來的不適定性問題。最后考慮目標場景的稀疏先驗約束,提出了基于OMP算法的測角技術(shù)。仿真結(jié)果驗證了所提方法的方法能夠提高雷達測角的精度,并且具有較好的抗噪性能。