反證法在高等數學教學中的應用

張雁芳 湖北文理學院理工學院公共課部 湖北襄陽 441025

一 引言

數學課程作為高等院校工科類學生專業必修課程，一般包含高等數學、線性代數和概率論與數理統計三門課程.與其他專業必修課程相比，這些數學課程經過幾百年的發展和完善呈現的抽象化程度較高，學習時需要較強的抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，而這恰恰是大多數初學者所不足的.

高等數學作為大學第一門數學課程，這種對比表現的尤其明顯.一方面是因為剛進校門的大學生的理性思維活動還主要是以對直覺和表象依賴性較強的形象思維為主，對數學的認識還停留在初等數學層面，不論是數學概念的抽象化還是邏輯推理的嚴密化，都還沒有充足的認識；另一方面，就是高等數學課程本身而言，涉及到的數學內容比其他數學類課程更多更復雜，它所包含的思想方法和技巧是豐富多彩的，故而一般高校都將高等數學課程分為兩個學期完成.

即使是這樣，剛剛跨進大學校門的學生們要想在短短的一年時間內接受并消化人類歷史上發展了幾百年的高等數學的相關內容，還是相當困難的.再加上現行的教材基本上是按照西方人的思維以演繹法編寫的教材，無法展現相關的概念和理論得到的背景和發展歷史，這讓習慣了通過發現歸納法進行學習的國內學生也相當不適應.

以上種種就造成了一種在高校中高等數學難學難教的普遍現象.從教育學的角度來講，造成這種現象的根本原因就是教學中沒有充分考慮國內學生的思維特點和現有的學習水平，沒有根據“最近發展區”的思想來安排教學.

本文將以高等數學為例，展示反證法在教學中的應用。

反證法的含義及其作用

所謂反證法其基本思想就是“否定之否定為肯定”，所以反證法又稱歸謬法、背理法，是間接論證的方法之一。是通過斷定與論題相矛盾的判斷(即反論題)的虛假來確立論題的真實性的論證方法。數學家阿達瑪說過：“這種證法在于標明，若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”，這就是對反證法最精辟的概括。

反證法的論證過程如下：要證明某個定理，首先在承認定理條件的基礎上，否定結論；接著將否定的結論作為新的條件按推理規則進行推演，得到與給定的條件相矛盾的結論;最后根據排中律，確定反論題為假，原論題便是真的。在進行反證中，只有與論題相矛盾的判斷才能作為反論題，論題的反對判斷是不能作為反論題的，因為具有反對關系的兩個判斷可以同時為假。反證法中的重要環節是確定反論題的虛假，常常要使用歸謬法。

在數學中，反證法更是一種應用廣泛的數學證明方法。從最基本的性質定理，到某些難度很大的世界難題很多都是用反證法來證明的。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或復雜,而命題的否定則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。

早在古希臘時期，數學家就應用它證明了許多重要的數學命題，歐幾里德的《幾何原本》中就出現了反證法的身影。牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。反證法在很多方面具有不可替代的作用。在現代數學中，反證法已經成為最常用最有效的解決問題的方法之一。

反證法在高等數學教學中的應用

高等數學經歷幾代人的努力，教學體系已比較成熟，很多定義定理已脫離了原有的產生背景，符號也相對比較簡練抽象，其中的定理部分更是很多初學者望而生畏的部分.下面我們將著重展示反證法在數學定理教學中的應用。

高等數學作為大學生必修的專業基礎課，不僅僅起到為后繼的其他課程提供必要的知識儲備的作用，更重要的要提高學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，讓學生學會邏輯推理和證明。然而，很多學生在學習的時候出現重計算請理論的傾向，這樣會讓教育的質量大打折扣。所以理論證明教學第一課，如何在提高學生學習數學興趣的同時讓學生意識到理論推導、理論證明的重要性，顯得尤為關鍵。通過學習，我們讓要學生明白：學習知識不是目的，我們要通過知識的學習逐步提升自己的綜合能力，那么數學的學習與其他學科相比提升能力的效果會更好。

通常我們會通過一次大家耳熟能詳的例子“道旁苦李”（南朝·宋·劉義慶《世說新語·雅量第六》：“王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道旁李樹多子折枝，諸兒競走取之，唯戎不動。）引入反證法的思想。借助一個問題（故事中的王戎為什么會知道路旁邊的李子是苦的？）引發學生進行深層次的思考，讓學生對常見的證明方法有個感性認識，明白日常生活中如何利用反證法的思想進行理性的邏輯推理，從而引起學生學習數學的興趣。

具體過程為：

3、觀察命題，如果直接證明，難度很大，確定選用反證法來證明。

4、證明第一步：否定結論，這個數不是無理數，根據實數理論，這個說法等價于這個數是有理數（這時要提示學生，這個命題有個隱含的大前提就是在實數范圍內，這是邏輯思維嚴密性的表現之一，要把所有可能的情況都考慮進去。）。

5、證明第二步，以否定的結論作為新的條件開始進行邏輯推理。由于不是無理數，所有由實數的相關理論，不妨設，其中p，q是互素的自然數；接著在這個式子的基礎上開始推理：p 也必須是偶數（因為奇數的平方仍然為奇數）。由此可令p =2k ，將此式子帶入p2=2q2?2k2=q2可得q也為偶數，這時p，q就有共同的公約數2，與最初的假設矛盾。是偶數，由此可得

6、命題得證。

一般情況下，高等數學的研究對象可分為一元函數和多元函數。在高等數學的理論教學部分，我們遵循有簡單到復雜，由特殊到一般的規律，逐步讓學生接受并掌握反面證明的方法和思想。高等數學理論證明的教學部分大部分集中在高等數學上學期，具體包括極限存在的證明、極限理論的證明、連續性定理及應用、微積分中值定理的證明及相關應用等相關內容。

我們在學生了解并逐漸接受反證法的基礎上，首先利用一些簡單的極限存在問題反復利用反證法來解決問題，從而達到強化學生對這一方法的熟練掌握的目的。具體操作時，我們利用極限的唯一性這個定理向學生們展示了在相對比較困難的情況下，如何利用反證法證明結論。接著通過一個例題證明數列1，0，1，0，-----的極限不存在再次展示反證法的威力。最后選取了一些稍微困難一點兒的題目讓學生們在模仿的基礎上逐漸理解并掌握反證法的精髓。

高等數學一元函數部分理論證明的重點和難點主要集中在微分中值定理部分。這部分的命題或結論相對比較綜合，我們在學生已經適應邏輯推理的基礎上再次利用反證法展示復雜情況下如何反復利用反證法得到結論。實踐證明，通過這一系列相對綜合的證明題目的訓練，學生的思維方式逐漸發展改變，能力也得到進一步提升。

除此之外，利用反證法證明數學命題或數學定理時，我們需要反復對命題或定理中的條件進行研究、對比，這樣能讓我們更清楚地明白命題或定理的內涵與外延，從而能引導學生多角度、多層面地去思考問題，在一定程度上促進了學生的能力的提升。

綜上所述，在高等數學課程中尤其是理論證明部分引入反證法，不僅能加深學生對數學數學定理的內涵與外延的理解與掌握，還能打開學生眼界、激發學生學習興趣，提高數學課程的教學效率與教學質量，更重要的是可以引導學生多方面、多角度的思考問題，優化學生的思維結構、培養學生的創新能力，提高學生的綜合素質。因此，在高等數學課程教學尤其是理論部分教學中，廣大教師應充分重視并恰當地應用反證法。