滲透數學思想，培養數學思維

于鳳霞

摘 要：《初中數學教學大綱》指出：數學教學中要適當滲透與教材難度相匹配的數學思想，以此培養學生的思維能力。數學思想方法是數學的規律與本質，是對解決數學問題的眾多方法的概括與提煉。作為一名數學教師，筆者多年來立足課堂，深入研究，致力于引導學生步入數學世界的大門并能越走越遠。在本文中，筆者結合自己的教學實踐，談談如何從數學思想著手來培養學生的思維能力。

關鍵詞：數學思想 思維能力 教學策略

數學思想是數學的靈魂，在初中數學教學中有意識地向學生滲透一些基本數學思想，是提高學生數學能力和思維品質的重要手段。合理地運用數學思想，有助于讓他們更快捷地獲取信息、更透徹地理解知識。那么，筆者從以下四個方面介紹具體的實施策略。

一、集合，建構知識體系

集合思想是現代數學思想向初中數學滲透的重要標志。它將一組相關聯的對象放在一起，通過討論它們的相關性和無關性來建立集合，在一定程度上把相對抽象的數學對象有條理地列舉出來，在學生的腦海中建構起知識體系，使知識點一目了然。

數是數學的基礎，隨著學生對數學知識不斷深入地學習，學生所接觸的數集也越來越大。基礎不好的學生對數集的關系感到難以捉摸，于是在學習《實數》這一節時，筆者利用集合圖為學生梳理各數集的關系。由于一些概念學生已經記憶得不準確了，于是筆者和學生一起查閱教材，將各數集的定義書寫在黑板上，然后引導學生根據各數集的范圍填寫集合圖。在定義的梳理過程中學生就可明確實數集的范圍最大，于是先畫了一個大圓表示實數集，又在其中畫了兩個小圓表示有理數集和無理數集。而有理數又包括整數集和分數集，所以再在有理數的小圓中畫兩個更小的圓表示。整數又由正整數、負整數、“0”三者構成，而“0”與正整數共同構成了自然數集，所以在整數集中畫出兩個圓表示自然數集和負整數集。最終各數集的關系經過集合圖清晰地展現出來，幫助學生建構了關于數集的知識體系。

集合思想可以使知識與邏輯更趨于統一，也能使抽象的數學問題具體化。在引導學生建構知識體系的過程中，學生們對知識點的理解會更加深刻，記憶也能更加牢固。同時，學生們也能自主地運用集合思想把數學難題簡單化，在提升自身思維能力的過程中提高自己的解題能力。因此，向學生們滲透集合思想是培養學生數學思維能力的有效方法。

二、 轉化，助力邏輯推理

轉化思想是把一個問題通過某種內在關系轉化成另一個問題的過程。它能把一個較復雜的問題轉化成一個較簡單的問題，從而解決數學問題，也能通過兩個問題之間的相互轉化去探究它們之間的內在聯系，進一步明確兩個知識點之間的關系。最終，鍛煉學生的邏輯思維能力。

例如在學習《多邊形及其內角和》時，筆者在黑板上畫出一個不規則四邊形對學生說：“老師想知道這個四邊形的內角和，你們知道怎么獲得嗎？”學生著急地說：“等一下，我用量角器量完告訴您。”筆者解釋道：“大家都知道量角器這些量具測量總會存在系統誤差和人為誤差，還有什么別的辦法呢？還記得我們求解二元一次方程組時是把它轉化成已學的一元一次方程，四邊形能不能轉化成三角形呢？”學生恍然大悟，在四邊形中連接了兩個對角成了兩個三角形，得出四邊形的內角和是2×180°=360°。筆者繼續推動學生探究問題，說道：“此時你們能告訴我五邊、六邊甚至七邊、八邊形的內角和嗎？”學生在紙上將多邊形轉化成多個三角形輕易得出結果，并總結自己的求解過程，得出多邊形的內角和是（n-2）×180°。引導學生將多邊形轉化成三角形完成了多邊形內角和的探究學習，推動了學生的思維發展。

轉化思想是處理數學問題的指導思想，它能化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次，化多元為一元，是解決問題的一種基本策略。學生在轉化中實現了知識的類比遷移，也推動他們邏輯思維能力的發展。

三、極限，體會量變質變

我們都知道初中數學基本被分類、數形結合、函數方程、轉化化歸四大思想所占據，極限思想在考試的考察中少之又少，許多提倡實用主義的教師則忽視了其在教學中的滲透。然而極限是人們從有限向無限過渡、從量變認識質變的重要方法，是學生認知事物轉變，發展思維邏輯推演的重要推力，因此在初中滲透極限思想對推動學生思維發展是必不可少的。

提到極限思想，在初中知識中繞不開對圓的認知。圓因其特殊性，其相關知識是介紹極限思想的豐富資源。在講解圓的軸對稱性時筆者就有意識地向學生滲透極限思想。筆者對學生說：“我們已經學習了許多軸對稱圖形，其中最常見的一類是正多邊形，如正三角形、正四邊形，大家能告訴老師它們都有幾條對稱軸呢？”學生不難回答出：“正三角形有3條，正四邊形有4條，正n邊形有n條。”“那圓有多少條呢？”學生說：“圓的每條直徑都是圓的一條對稱軸，圓有無數條直徑所以就有無數條對稱軸。”此時學生還未建立這兩部分之間的聯系，筆者提示說：“圓是不是可以看作一個正n邊形，當正n邊形邊數n無限增大就可無限接近圓，由此正n邊形有n條對稱軸就可以推演出圓有無數條對稱軸了。”學生若有所思。

從正n邊形到圓是正n邊形邊數n的量變積累，圓是質變的完成，以上過程幫助學生建立正n邊形對稱軸與圓對稱軸聯系的同時也讓學生體會了極限思想中量變到質變的過程，推動了學生數學思維的發展。

四、分類，嘗試逐一討論

分類討論是初中數學應用十分廣泛的思想方法，它根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同范圍的問題，從而逐類進行討論。分類思想要求學生們能夠辨別自變量在不同條件下取不同值的細微差異，從而鍛煉學生數學思維的條理性和縝密性。

許多數學定義在其內涵知識點中就已經進行了分類，如直角三角形中直角邊與斜邊的區別，等腰三角形中頂角與底角的分類。若學生在學習這些知識時沒有進行深入、嚴謹地思考而帶著模棱兩可的態度去解題，往往只能以失敗告終。如“在等腰△ABC中∠A=40°，則∠B=”一題中就存在分類思想，在做此題時學生很容易想當然地認為∠A是頂角，求得∠B是70°，忽視了題目中并沒有聲明∠A是頂角，遺漏了∠A是底角的這種可能。除此之外，一些概念本身就還有多種情況，更離不開分類討論。如任意實數a，求其平方根。其中實數a就有正數、負數、“0”三種情況，考慮到求平方根所以可以排除負數這種情況。在數學中涉及分類的情況還有很多，從數學的基礎知識內涵到數學的解題過程，都可滲透。

分類思想不僅僅是一種解題方法，它更體現了數學的條理性、嚴謹性。在教學中，教師應將分類思想的培養與知識講解緊密結合，時刻提醒學生可能出現分類討論的情況，培養學生思維的嚴謹性。若脫離了基礎知識，分類思想的教學只是流于解題的無源之水，學生也難以理解思想的真諦。

巴甫洛夫曾說：“不依賴好方法，天才也將一事無成。”數學思想方法蘊含著數學的規律和本質，在教學中引導學生掌握數學思想，使學生從更高的角度審視問題，尋找更有效解題策略。在思想的指引下，學生更容易抓住問題的本質特征，從而培養了學生的思維能力，深化了數學核心素養。

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（作者單位：山東省桓臺縣城南學校）

□責任編輯：陳 易