數量關系，應成為解決問題的“法寶”

黎雙娣

在2001年我國制定《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，為了使培養學生解決問題能力落到實處，單獨設立了解決問題這一目標維度，應用題不再成為獨立的教學內容，解決問題的要求被貫穿在四個基本的內容領域中。在《義務教育數學課程標準（2011版）》中這個做法得到延續，新課程理念下解決問題的教學，關鍵是讓學生分析數量關系，明確解題思路。在教學中，筆者認為通過簡化題目、以圖示意、猜想和嘗試等途徑，讓學生根據題中的數學信息找出數量關系，掌握分析數量關系的基本方法，發展學生的數學思維。

一、讀懂題意，簡化題目，提煉出數量關系

“書讀百遍，其義自見。”語文閱讀要求學生讀出感情、讀出意境，數學語言簡練、精辟、邏輯嚴謹，數學閱讀雖然不同于語文閱讀，但要讓學生學習數學知識，感受數學語言，發展數學能力，數學教學就離不開“讀”。在解決數學問題時，指導學生細讀題目，做到讀通、讀懂、讀透，通過“讀”讓學生通其義，明其理，找出題中的數量關系，使復雜問題簡單化，從而達到解決問題的目的。

在教學《百分數的應用》時，學生遇到了這樣的題目：連州地下河的門票是150元一張，平均每天接待1000名游客。春節期間舉行門票優惠活動，優惠后每天的游客增加了50%，收入增加了20%，優惠后門票的價格是多少元？學生面對這道已知信息復雜的題目無從下筆，找不到解決問題的突破口，筆者先讓學生齊讀一次題目，引導學生找出一個基本的數量關系式：門票價格×游客人數=收入。再讓學生自己細讀題目，理解題意算出優惠后的收入是150×1000×（1+20%）=180000（元），優惠后的游客人數是1000×（1+50%）=1500（人），優惠后的門票價格是180000÷1500=120（元）。這時，學生已經讀了兩次題目，仔細分析題意，找出數量關系解決了問題。最后讓學生再品讀一次題目，發現優惠后的人數和收入都是在原來的基礎上分別按照一定比例變化，實際上游客人數并不影響計算的結果，因此只需要假設游客人數為單位“1”就行，數量關系式沒有變化。假設優惠前的游客人數是1，則優惠后的游客人數是1×（1+50%）=1.5，優惠前的收入是150×1，則優惠后的收入是150×1×（1+20%）=180，所以優惠后的門票價格是180÷1.5=120（元）。通過齊讀、細讀、品讀題目的方式，幫助學生從整體上把握題目的數量關系，掌握解題方法，降低學習難度，提高學生解題的興趣。

二、動手操作，以圖示意，抽象出數量關系

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學會畫應用題，可以有根據地說，他一定能學會解應用題。”而判斷一個學生是否理解題意的最佳方法是學生是否能以圖示意，以圖示意是激發學生思維和促進學習的有效工具。

在執教《植樹問題》一課時，筆者嘗試用以圖示意的方法去引導學生解決問題。出示問題：四（1）班在一條50米的公路一側植樹，每隔5米種一棵（兩端都種），一共要種多少棵樹苗？學生很快寫好了答案，紛紛舉手。筆者將不同的答案寫在黑板上：（1）50÷5=10（棵）；（2）50÷5=10（棵）10+2=12（棵）；（3）50÷5=10（棵），10+1=11（棵）。面對學生不同的想法，筆者并不急于揭曉答案，而是讓學生把題目畫出來，在左邊端點種一棵，一個5米種一棵，再一個5米又種一棵，讓學生跟著“5米一棵”“5米一棵”地邊說邊畫，這時生1說：我找到答案了，應該是11棵。筆者讓學生再來畫一次，邊說邊畫：1個5米種2棵，2個5米種3棵，3個5米種4棵，4個5米種5棵……學生邊說邊“種”，這時，筆者拋出問題：50里面有幾個5米？種幾棵？全班學生異口同聲地說：50里面有10個5米，種11棵。再來觀察：1段種幾棵，2段種幾棵，3段種幾棵，4段種幾棵……最后，引導學生找出數量關系是“段數+1=棵數”，植樹問題就迎刃而解了。通過讓學生親自畫出直觀形象的圖找出數量關系，建構數學模型，尋找解決問題的突破口。

三、猜想和嘗試，探索出數量關系

數學猜想是人們在已有的知識經驗的基礎上對問題進行直覺的試探，從而形成某種假設的一種思維活動和思想方法。讓學生先根據題目中的已知信息或結論作出某種猜想，然后根據猜想進行推算，對數量關系上出現的矛盾進行適當調整，從而找到正確答案。

在教學《雞兔同籠》時，筆者也用猜想驗證的方法來解決問題。出示題目：“雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有幾只？”讓學生先根據題目中的“籠中有20個頭”大膽猜想“雞兔各有幾只？”在猜想不正確的情況下，學生逐步感受到“如果總腿數猜多了，就要多猜雞的只數少猜兔的只數；反之，如果總腿數猜少了，就要多猜兔的只數少猜雞的只數。”引導學生觀察、思考，明確解決問題的思路，探索出解決雞兔同籠問題的數量關系式是：“兔數=（實際的腿數-雞兔總數×2）÷（4-2），雞數=（雞兔總數×4-實際的腿數）÷（4-2）”。接著我介紹小知識：“雞兔同籠”問題出自我國古代數學名著《孫子算經》，書中的題目是這樣的“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”讓學生用數量關系式解答出兔子的只數：（94-35×2）÷（4-2）=12（只），雞的只數：35-12=23（只）。

讓學生經歷從實際問題中通過猜想與驗證的方法，探索出數量關系，并運用所學知識解決問題。

實踐證明：在解決問題的教學中，筆者認為應該讓學生根據問題的信息分析數量關系，找到解題思路，掌握解題方法，提高學生解決問題的能力，發展學生的數學思維。

參考文獻

戴曙光.數學，究竟怎么教[M].華東師范大學出版社，2016.

編輯 段麗君