寧在曲中取 不在直中求
——點共圓在解題中的應用

四川省德陽市中江縣青市鄉中心學校 龔輝倫

圓是初中繼三角形、四邊形學習后的唯一一種曲線型圖形，它具有完美的對稱性。圓的出現，為我們的幾何學習提供了一種新的認識圖形的方式。雖然課標要求對圓的教學要把握好一定的“度”，但由于圓這個完美圖形本身具有不可替代的優勢，我們仍然可以借助課本呈現的相關定理和探究活動的結論，靈活應用它們來解決一些看似與圓無關，卻又深深反映出圓的性質特征的直線型題目，使復雜的問題變得簡單，提高解題能力。

一、應用圓的定義，構造輔助圓來解決數學問題

試題呈現：如圖1-1，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長（ ）

圖 1-1

圖 1-2

圖 1-3

嘗試分析：雖然本題可以根據AB=AC=AD=2這個條件，聯想到等腰三角形的相關知識，通過構造全等三角形來解決（如圖1-2），當然也可以通過延長BA來構造全等三角形，但這些三角形之間的邊角關系比較復雜，一般基礎的學生不容易看出其中的關系，很難完整地解答出來。

解題依據：在人教課本九年級上冊第119頁，在教學圓的定義后，課本上有如下陳述：“從畫圓的過程可以看出，到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上?！?/p>

解法生成：從題目中的描述可以看出，點B、C、D到點A的距離都等于2，滿足B、C、D共圓的條件，所以，我們可以構造以點A為圓心，以AB的長為半徑的輔助圓（如圖1-3），結合DC∥AB的條件，易想到延長BA，將BC轉化為DF，再利用圓的直徑所對的圓周角是直角構造直角三角形，輕松求出BD的長為

方法總結：當題目中遇到有相等的線段且共端點時，可根據圓的定義，考慮構造輔助圓來解決問題，往往事半功倍。

二、應用同弧所對的圓周角相等，構造輔助圓來解決數學問題

試題呈現：如圖2-1，在等邊三角形ABC內有任意一點P，且，若三角形邊長為6，求AP的最小值是多少。

圖2-1

圖2-2

解題依據：同弧所對的圓周角相等。

解法生成：根據點P的運動軌跡，我們可以作出過符合條件的點P及點B、C三點的圓弧，找出隱形圓，再通過圓外一點到圓上的距離最短找出P點的位置，也就是說A、P兩點和隱形圓圓心O在同一條直線時，AP最短，從圖2-2中不難看出，這條線也過BC的中垂線，所以，過點P作BC的中垂線，與弧的交點就是所求的P點，再通過解直角三角形，可求線段AD和PD的長，就能得到AP的最小值為

方法總結：當題目中出現了一個定角，且這個定角所對的線段是固定線段時，我們可以知道該題中可能隱含著一個過線段端點及定角頂點固定的圓，此時定線段為這個圓的一條弦，這個定角就是這條弦所對的一個圓周角，這樣，我們就可以借助圓的解題優勢，順利解決直線型問題。

三、應用四點共圓的條件，構造輔助圓來解決數學問題

圖3-1

圖3-2

嘗試分析：在初中階段，證明角相等的方法有很多，大多數情況下，我們能根據圖形的特點，構造全等三角形來解決相關問題。但本題，我們通過觀察發現，若∠CDE=∠COE成立，它們所對的線段都是CE，根據上述兩類題目的經驗分析，初步判斷點C、D、O、E共圓，可構造輔助圓來解決相關問題。

解題依據：人教版課本九上P119的活動二，從“探究四點共圓的條件”結果所知，當四邊形對角互補時或者一個外角等于四邊形的內對角時，這個四邊形是一個定圓的內接四邊形，即四邊形的四個頂點共圓。

方法總結：當四邊形有一組對角互補時，我們可以利用四點共圓的條件，構造輔助圓來解決相關問題。同時，在本題中，由于對角所在的兩個角都是直角，我們根據90°的圓周角所對的弦是直徑，不但可以判斷D、C、E、O四點共圓，而且還可以得到線段DE就是這個輔助圓的直徑。

數學轉化思想就是要對條件和結論進行轉化，將分散轉化為集中、將隱性轉化為顯性。從以上三種構造輔助圓的情況可以看出，這些構造方法涉及圓的定義及判定，均有課本定理或者探究活動的結論為據，符合數學課標對圓教學要有“度” 的要求，且中考中不乏此類題目的呈現，所以在教學中，我們要培養學生的合情推理能力，不斷積累知識經驗，提高解題能力。