淺談等比數列中常見的錯解剖析

■河南省駐馬店平輿縣第一高級中學高三八班 魏子龍

在等比數列學習中,我們有時會遇到一些似是而非的問題,此類問題往往是由于我們對某些概念或公式理解上的模糊認識,從而造成一些看起來正確而實際上錯誤的判斷,使我們的解題思維走入誤區。

誤區一：對等比數列的概念理解不透徹,而造成的失誤。

例1 若a,b,c是實數,則b2=ac是a,b,c成等比數列的（ ）條件。

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要條件 D.既不充分也不必要

因此,b2=ac是a,b,c成等比數列的充要條件。故選C項。

剖析：當a,b,c成等比數列時,b2=ac成立;由于a,b,c是實數,當b=c=0時,b2=ac雖成立,但b,c均為零,不可能是等比數列的項,即a,b,c不成等比數列。

故選B項。

誤區二：忽視等比數列的公比不等于0的隱含條件而致錯。

例2 已知數列{an}的前n項和為Sn=1+kan（k≠1）,判斷數列{an}是否是等比數列。

錯解：當n≥2時,an=Sn-Sn-1=1+kan-（1+kan-1）=kan-kan-1。

整理得kan-1=（k-1）an。

剖析：上述解法只適合k≠0的情形,因為等比數列中隱含條件q≠0,所以在解題過程中應考慮公比是否為0。

正解：

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=1+kan-（1+kan-1）=kan-kan-1。

整理得kan-1=（k-1）an。

若k≠0,則數列{an}是等比數列;若k≠0,則Sn=1,數列{an}不是等比數列。

誤區三：忽視了an=Sn-Sn-1成立的條件,從而導致錯誤。

例3 已知數列{an}的前n項和為Sn,滿足log2（1+Sn）=n+1,求數列{an}的通項公式。

錯解：因為log2（1+Sn）=n+1,所以1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1。

故an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n,數列{an}的通項公式an=2n。

剖析：此解法忽視了起始項,即當n≥2時,an=Sn-Sn-1才成立。因此上面求出的通項公式an=2n只適用于n≥2的情況,上述結果是不完整的。

正解：因為log2（1+Sn）=n+1,所以1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1,Sn-1=2n-1。

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n。

a1=S1=21+1-1=3≠21,不滿足上式。

評注:公式an=Sn-Sn-1中隱含條件n≥2,所以當a1符合an（n≥2）的表達式時可合并一個通項公式;當a1不符合an（n≥2）的表達式時通項公式應分段表示。