與等差（比）數列求和有關的三類問題

■天津市武清區英華國際學校 王續然

等差數列與等比數列,作為數列的基本類型,一直是高考命題的熱點。那么與等差（等比）數列求和有關的問題有哪些呢?下面舉例說明。

一、基本量法求和問題

例1 等差數列{an}的前n項和記為Sn,已知a10=30,a20=50。

（1）求通項公式an;

（2）若Sn=242,求n。

解得n=11或n=-22（舍去）。

故n=11。

評注:（1）等差或等比數列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d或q,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現了方程的思想。

（2）數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d（q）是等差（比）數列的兩個基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法。

二、等差、等比數列前n項和的性質的應用

例2 （1）已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=（ ）。

A.40 B.50 C.60 D.70

（2）各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于（ ）。

A.80 B.30 C.26 D.16

解析：（1）因為S10,S20-S10,S30-S20成等差數列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,所以S30-30=10+2×10=30,S30=60,選C。

（2）由等比數列性質得,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數列,則（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n）。

所以（S2n-2）2=2×（14-S2n）。

又S2n＞0,解得S2n=6。

又（S3n-S2n）2=（S2n-Sn）（S4n-S3n）,所以（14-6）2=（6-2）（S4n-14）。

解得S4n=30,選B。

評注:（1）等差數列{an}中,公差為d,前k項的和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S（m-1）k,…構成公差為k2d的等差數列。

（2）等比數列{an}中,公比為q,前m項和為Sm（Sm≠0）,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,Skm-S（k-1）m,…構成公比為qm的等比數列。

三、與等差、等比數列求和有關的最值問題

（2）利用條件中兩項間的關系,尋求數列首項a1與公比q之間的關系,再利用等比數列前n項和公式及所得的關系化簡不等式,進而通過估算求得正整數n的取值范圍。

由題意得:

（a1q16）2=a1q23,a1q9=1。故a1=q-9。

把a1=q-9代入上式并整理,得:

因為q＞1,所以qn-1＞0。故有qn-18＞q,即qn＞q19,從而n＞19。所求正整數n的取值范圍是n≥20,n的最小值為20。

評注:本例中的第一題屬等差數列的前n項和問題,依據等差數列求和公式,一般可考察其中間項來確定正負。本例第二題中數列與不等式兩方面的知識都用到了,主要體現為用數列知識化簡,用不等式知識求得最后的結果。本題還體現了轉化思想、方程思想及估算思想的應用。