例談數列中的難度較大的綜合應用題

■廣東省興寧市第一中學 藍云波

數列是高考中的核心考點,在歷年的高考中都占有重要的地位。因此,如何高效學習好這部分內容變得至關重要。數列知識考點繁多,處理問題的思想方法較為靈活,問題的綜合程度較高,在高考中已經形成了很多經典問題。下面通過對高考中數列綜合應用問題的分析,可溝通數列的所有重要的知識與思想方法,同時也能體會到數列與其他重要知識點的精彩交匯,以期對同學們的學習有所幫助。

一、數列與數學文化的交匯

例1 《九章算術》“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,最上面4節的容積共3升,最下面3節的容積共4升,則第5節的容積為____升。

解析：設竹子從上到下的容積依次為a1,a2,…,a9,由題意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4。設等差數列{an}的公差為d,則有4a1+6d=3①,3a1+21d=4②。

點評:此題是數學文化題,關鍵是提取其中的重要信息,可發現此題實際上是等差數列問題。

二、an與Sn的關系問題

例2 設數列an｛｝的前n項和為Sn,已知an＞1,a2n+3an=6Sn-2（n∈N*）。

由題意知:

整理得（an+1+an）（an+1-an）=3（an+1+an）。因為an＞1,所以an+1+an≠0,an+1-an=3。

所以數列{an}是以2為首項,以3為公差的等差數列。

因此,an=2+（n-1）×3=3n-1。

點評:對含有an與Sn的關系式的數列問題,可利用公式an=Sn-Sn-1（n≥2）實現問題的求解。

三、等差數列與等比數列的綜合問題

點評:本題綜合考查了等差數列與等比數列的基礎知識,解題的關鍵是對基本概念、公式的理解。

四、數列中的最值問題

解得6≤n≤7。

又n∈N*,所以最大項為第6項和第7項。

五、數列中的比較大小問題

當n≥3時,f（n+1）-f（n）＞0,故當n≥3時,f（n）單調遞增。

因此,當n≥4時,f（n）≥f（4）=1。

而g（n）＜1,所以當n≥4時,f（n）＞g（n）。

經檢驗n=1,2,3時,f（n）＞g（n）仍成立。

點評:比較大小是數列中的常見問題,常見的解法有:直接作差法,借助中間變量法,構造函數進而利用其單調性等方法。結合此題的特點,可借助中間變量進行比較。

六、數列中的恒成立問題

（2）若對任意的n∈N*,不等式3n2-2n-5＜（2-λ）an恒成立,求實數λ的取值范圍。

點評:含有參數的恒成立問題,分離參數是常見的解題策略,本題在分離參數后,通過借助數列的單調性求出數列的最大項,從而實現問題的求解。

七、數列中的不等式證明問題

點評:本題的關鍵是通過倒數變換,然后通過拆項,再利用累加法實現問題的求解。對代數變形能力要求較高,較為隱蔽,在證明不等式的過程中使用了常見的放縮法。

八、函數背景下的數列問題

點評:這是一道極為經典的倒序求和問題,這類試題往往給出一個優美的函數,然后借助該函數蘊含的一個奇妙性質進行求和,而這個蘊含的奇妙性質,往往需要對所需求和的式子進行觀察而獲得。

九、解析幾何背景下的數列問題

例9 設C1、C2、…、Cn、…是坐標平面上的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸數n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半徑,并且{rn}為遞增數列。

（1）證明:{rn}是等比數列;

而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,將λn=2rn代入,解得rn+1=3rn。

故{rn}是公比q=3的等比數列。

（2）由于r1=1,q=3,故rn=3n-1。

點評:本題以解析幾何為背景,通過數形結合,轉化為數列問題,第二問考查了錯位相減求和法。

十、平面向量背景下的數列問題

例10 設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是i、j,坐標平面上點An、Bn（n∈

（2）若四邊形AnBnBn+1An+1的面積是an,求an（n∈N*）的表達式。

（3）對于（2）中的an,是否存在最小的自然數M,對一切n∈N*都有an＜M成立?若存在,求出M;若不存在,說明理由。

因此,存在最小的自然數M=6,對一切n∈N*,都有an＜M成立。

點評:本題通過向量的回路法,轉化為已知條件的向量進行表示,并通過平面向量的坐標運算解題。