例談數列求和的幾種常見方法

■河南鄭州外國語學校 田 景

數列求和是歷年高考的熱點,也是數列章節的重點,具有靈活多變、綜合性強的特點。下面結合一些高考真題和常見題目,對數列求和的常用方法進行匯總整理,供同學們參考。

1.公式法

若題目中已明確知道數列的類型,或經過判斷發現是等差數列或等比數列,我們可以直接用公式法求其前n項和,等比數列的求和公式中需要討論公比是否為1。

例1 （2017·北京）已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5。

（1）求{an}的通項公式;

（2）求和:b1+b3+b5+…+b2n-1。

解析：（1）易得an=2n-1,過程略。

（2）設公差為d,由（1）知a5=a1+4d=9,等比數列{bn}滿足b1=1,b2b4=9,可得b3=3（-3舍去）,則{b2n-1}是以b1=1為首為公比的等比數列,所以b1+b3+

2.錯位相減法

錯位相減法是在推導等比數列前n項和時用到的一種方法,主要用來求數列{an·bn}的前n項和,其中{an}為等差數列,{bn}為等比數列。求和時,將已知和式乘以等比數列{bn}的公比,然后再將所得和式與原和式錯位相減,轉化為同倍數的等比數列進行求和。使用時要注意:（1）要考慮公比為1的特殊情況;（2）錯位相減時勿遺漏末項;（3）相減后,Sn前的系數不要忘記除掉;（4）算出結果后最好代入n=1,2進行檢驗。

例2 （2017·山東）已知{an}是各項均為正數的等比數列,且a1+a2=6,a1a2=a3。

（1）求數列{an}的通項公式;

（2）{bn}為各項非零的等差數列,其前n項和為Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求數列前n項和Tn。

解析：（1）記正項等比數列{an}的公比為q,因為a1+a2=6,a1a2=a3,所以（1+q）a1=6,q=a1q2。解得q=0（舍去）,或a1=q=2,所以an=2n。

3.并項求和法

若一個數列相鄰兩項或幾項的和是定值或者有一定的規律,我們可以把這兩項或者幾項合并成一項,然后形成一個新的數列,再對新的數列進行求和,這種方法叫并項求和法。并項是利用加法的交換律和結合律將“不規則的和”轉化為“規則的和”,化繁為簡。

例3 （2016·天津）已知數列{an}滿足an=2n-1,若對任意的n∈N+,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數列}的前2n項和。

解析：因為bn是log2an和log2an+1的

4.裂項相消法

裂項相消法是將數列的通項拆成兩項或者幾項的差,在求和過程中相互抵消,最后只留下有限項的和,此種方法的難點在于通項的拆分。常見的拆項公式有:

5.倒序相加法

這個方法是推導等差數列前n項和時常用的方法,適用于與首末兩項等“距離”兩項的和是一個常數或者有一定的規律的數列。具體操作:將這個數列倒過來排列,然后再和原來的數列對應項相加,即第一項和最后一項相加,第二項和倒數第二項相加…,可以得到n項的和,這n項之間有規律可循,即可求和。

數列的求和方法千變萬化,同學們要想能很好地解決此類問題,掌握本文總結的幾種基本方法是關鍵。當然這里只是簡單地講述了一些高中階段常見的基本類型,同學們在做題時可以根據題目的具體特征選擇合適的方法轉化為這幾種簡單的形式求解。希望本文對同學們掌握數列求和有所幫助。