淺淡數列中常見的幾種數學思想

■河南省鄭州市為民高中 黃一淼

數列是高中數學的重要內容之一,蘊含很多數學思想,這就需要同學們不斷地去總結、提煉,以便大家更好地掌握數列的基礎知識,提高同學們分析問題、解決問題的能力。

一、方程思想

等差、等比數列的通項公式,前n項和公式揭示的是首項,公差（公比）,項數之間的關系,應用時要善于抓住已知量與未知量的關系,特別是根據與首項、公差（公比）的關系選擇恰當的公式,建立方程組去解決問題,這是數列中最重要的思想方法之一。

例1 在等差數列{an}中,a6=10,S5=5,求a8。

解：設等差數列的首項為a1,公差為d。

故a8=a6+2d=10+2×3=16。

二、函數思想

數列的通項an,前n項的和Sn都是n的函數,若能運用函數的方法和觀點去分析處理某些數列問題,會起到事半功倍的效果。

例2 已知數列{an},an=-2n+10。

（1）求前n項和Sn;

（2）當n為何值時,Sn的值最大?

解：（1）因為an=-2n+10（an是n的一次函數）,所以數列{an}是等差數列,且公差d=-2。

因為n∈N*,所以n=4或n=5時,Sn的值最大,最大值為20。

三、分類討論思想

數列的通項an與前n項和Sn的關系,等比數列前n項和公式都是分類給出的,因此在應用它們解題時要注意分類討論。

例3 已知數列{an},前n項和Sn=-n2+2,求an。

解：（1）n=1時a1=S1=1。

（2）n≥2時an=Sn-Sn-1=（-n2+2）-〔-（n-1）2+2〕=-2n+1。

四、化歸思想

非等差、等比數列的前n項和常常要化歸轉換為等差、等比數列的前n項和,從而使問題獲得解決。