基于改進布谷鳥算法的分數低階盲均衡算法

王旭光，陳 紅，褚鼎立

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230031)

0 引言

盲均衡算法不需要訓練序列，只需要依靠自身接收的信號的統計信息來更新均衡器向量，可以有效提高系統的寬帶利用率[1]。由于計算量小、實時性強等優點，常模盲均衡算法(CMA，Constant Modulus Blind Equalization Algorithm)備受關注。上世紀90年代，基于CMA的分數間隔均衡器得到了廣泛發展和應用[2]。CMA算法的代價函數不含相位信息，對相偏反應遲鈍，僅適用于均衡幅度恒定的信號。最初的盲均衡算法研究是在無噪聲的假設下進行的，這是由于當時大多數學者認為碼間串擾(Intersymbol Interface，ISI)是引起通信信號失真的主要原因。這一假設對有線通信情況，如同軸電纜、光纖或雙絞線是適用的，但是對于無線通信系統不合適[3]。而后，Fijalkow等人將信道噪聲建模為高斯白色噪聲模型，研究了加性高斯噪聲信道對CMA算法的影響[4]。但是自然界中的很多噪聲，如槍炮聲、電器開關、雷電磁暴等，都具有很強的脈沖性，在很短時間內具有很強的幅度。而α穩定分布是唯一一種滿足廣義中心極限定理的分布，可以有效描述這一類噪聲干擾，Nikias等人最先將其引入信號處理領域[5]。α穩定分布具有很強的代表性，可以描述各種不同類型的脈沖噪聲。在這種噪聲條件下，許多傳統的信號處理方法性能下降嚴重，如CMA。因此，將CMA加以改進，使它能夠在脈沖噪聲環境下也有較強的適應能力，是當前一個重要的研究方向。

布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)是一種新式的元啟發算法，一經出現就受到了國際學者的廣泛關注。具有以下幾個優點：操作簡單、參數少，在處理優化問題時無需重新匹配參數。但是布谷鳥算法也具有收斂速度慢、容易陷入局部最優、末期缺少種群更新緩慢等缺點[6]。針對以上問題，我們將椋鳥群行為[7]引入到布谷鳥算法中,提出了一種引入椋鳥群行為的布谷鳥算法(Cuckoo Search Inspired By Starling Flock Behavior，SCS)。椋鳥群行為仿照了自然界中，椋鳥遇到天敵后，種群個體之間相互傳遞信息，從而迅速規避天敵的行為。當算法陷入局部最優時，根據椋鳥的集體行為更新巢，增加了變異幾率，提高了搜索精度與效率。本文針對此問題，提出了基于改進布谷鳥算法的分數低階盲均衡算法。

1 脈沖噪聲與分數低階統計量

在無線通信中，尤其是在復雜電磁環境下，信號中的噪聲和干擾往往具有較強的脈沖性而且不服從高斯分布，而α穩定分布模型則更適用于描述這些噪聲[8]。其特征函數為：

(1)

式(1)中，α是特征指數(0<α≤2)，當α=2，β=0時，式(1)可化簡為φ(t)=exp(jat-γ|t|α)，此時α分布可以看作為高斯分布。此外，α越小，噪聲的脈沖性就越強,γ是分散系數，又叫尺度參數，反映了α穩定分布的離散程度，其值必須取正數,β是對稱系數，反映了α分布的傾斜程度，當β=0時，α穩定分布是關于μ對稱的,μ是位置參數[9]。圖1是一個α=1.5時的對稱α穩定分布序列。

圖1 α=1.5時的對稱α穩定分布序列Fig.1 Symmetric alpha-stable distribution when α=1.5

當α<2時，α穩定分布不再存在二階以及高階統計量，這使得CMA算法在脈沖噪聲條件下性能嚴重退化。而在α穩定分布噪聲條件下，分數低階統計量(Fractional Lower Order Statistics, FLOS)在信道均衡中可以起到抑制脈沖噪聲的效果[9]。Rupi等提出了基于分數低階統計量的常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法利用輸入信號的分數低階矩設計代價函數，但是穩態誤差仍比較大[9]。

2 改進的布谷鳥算法

2.1 布谷鳥算法

自然界中，有一些布谷鳥會將卵偷偷產在其他鳥的巢中，讓宿主鳥替自己哺育后代,經過研究， Yang Xinshe教授和Deb教授提出了一種新型元啟發式算法——布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)[6]。

為了易于仿照布谷鳥繁衍后代的方式，Yang教授等對其作了以下幾點假設：

假設1 每一只布谷鳥一次只產一枚卵，并隨機放在宿主巢中。

假設2 最優的巢(適應度最優)將被保留到下一代。

假設3 每一代巢數量是固定的，且布谷鳥卵被宿主鳥發現的概率為P∈(0,1)。

(2)

L(λ)～u=t-λ,1<λ<3

(3)

設布谷鳥蛋被宿主鳥發現的概率為Pa。經過Levy飛行后，得出一組新巢位置[X1,X2,…，XN]，此時產生隨機數p∈(0,1)，若p>P，則表示宿主鳥發現布谷鳥蛋，此時布谷鳥將另外尋找一個巢產卵，位置更新公式如下[6]：

(4)

2.2 椋鳥群行為

椋鳥群經常像云團一樣飛行，他們聚集起來主要是為了躲避天敵。當有威脅出現時，椋鳥群會迅速改變方向。這種改變首先從鳥群中個別個體開始，迅速傳導至整個種群，使得整個種群的方向改變，從而躲避天敵。

在椋鳥群中，每一個個體的飛行方向不僅僅取決于自己，而且可以被周圍的其他鳥傳遞的信息影響，這就會最終造成整個鳥群的方向變換。在椋鳥群中，椋鳥個體一般會與其附近的7個個體進行信息交流，這7個個體再分別與其附近的7個個體進行交流，最終可以完成整個種群的信息共享。有分析表明，6個或7個個體組成一個群體交流網絡將有效平衡整個種群凝聚性及個體交流[7]。

2.3 引入椋鳥群行為的布谷鳥算法(SCS)

CS算法在搜索過程中很難收斂到全局最優，而且后期缺乏有效變異手段，搜索效率比較低。將椋鳥群行為引入到布谷鳥算法中，將有利于加大種群多樣性，減少算法后期陷入局部最優的風險。為了增加向有利方向調整的概率，我們設定了一個迭代停滯上限(Max_limit)。Max_limit的大小是由經驗決定的，過大則會導致算法靈敏度不高，不能有效判定是否陷入局部最優；過小則會使算法頻繁被椋鳥群行為修正，影響計算效率。當算法判定陷入局部最優時，挑選一定適應度較差的巢，將這些巢的位置進行變換，然后重新計算這些巢的適應度，若優于變換前則加以替換。

其中，位置變換公式為[10]：

(5)

(6)

若得出更新后的適應度值優于原始巢，則加以替換，反之維持原巢。

以上述公式和假設為基礎，SCS算法步驟描述如下：

Step1：初始化目標函數f(X)，其中X=(x1,x2，…，xd)，種群數n，布谷鳥蛋被發現的概率P，最大迭代次數N_iter，迭代停滯參數count=0，迭代停滯上限Max_limit，算法終止門限，巢位置上下限Ub，Lb，初始化n個鳥巢的位置(X1,X2,…，Xn)，并確保其在上下限范圍里。

Step2：計算每個鳥巢的適應度值，并找出當前最優解以及所對應的巢。

Step3：保留最優巢，利用Levy飛行得到一組新巢。

Step4：將Step3中得到的新解與上一代的一一對比，保留適應度最優的，進入下一步。

Step5：生成一個隨機數p∈(0，1)，若p>P，則此巢中蛋被宿主發現，布谷鳥利用公式(4)尋找一個新巢；否則保持不變。將更新后的鳥巢與上一步得到的最優解比較，選取較優解。若前后兩者適應度值沒有變化或者變化不大，則迭代停滯參數count+1(初始值為0)；若有較明顯變化，則count置零。

Step6：判斷count是否大于Max_limit，若大于則從種群中挑選出適應度較差的num個個體，利用式(9)更新鳥巢的位置，然后與原種群比較，替換掉適應度差的個體，count置零；若小于則進入Step7。

Step7：當超出算法終止門限或達到最大迭代次數時，回到Step3；否則跳出并輸出[11]。

3 基于改進布谷鳥算法的分數低階常模盲均衡算法

針對條件下的傳統盲均衡算法穩態誤差過大的問題，文獻[10]提出了FLOSCMA算法， 該算法利用了信號的分數低階恒模特性設計代價函數，在脈沖條件下該算法具有很好的適應性但是收斂速度緩慢。為了提高α穩定分布噪聲條件下盲均衡算法的性能，本文將SCS算法引入到FLOSCMA，將均衡器權向量建模為SCS算法的宿主巢，將FLOSCMA的代價函數加以改進，作為SCS算法的適應度函數，將均衡器輸入信號作為SCS算法的輸入。然后讓SCS算法在一定范圍內尋找FLOSCMA代價函數的最優解或其附近的解，并找到對應的巢作為均衡器的初始權向量，然后再利用FLOSCMA算法精確搜索。SCS-FLOSCMA算法框圖如圖2所示。

圖2 SCS-FLOSCMA算法流程圖Fig.2 The flow chart of SCS-FLOSCMA

(7)

利用JFLOSCMA可以得到SCS算法的適應度函數為：

(8)

這樣就可以利用SCS算法來求得JFLOSCMA的最小值，進而求出所對應的均衡器權向量。然后，將SCS算法得到的最優巢位置作為初始權向量，再利用FLOSCMA算法精確求解。

根據隨機梯度下降法，得到FLOSCMA算法的均衡器權向量更新公式為[12]：

(9)

式(9)中，μ為步長，p(0

通過以上分析可以看出，SCS-FLOSCMA算法首先依靠SCS算法在一定搜索范圍內進行搜索，得到一個靠近最優解的次最佳解作為FLOSCMA的初始權向量，然后再依靠FLOSCMA進行精確搜索，以提高算法的收斂速度，并有助于使剩余穩態誤差更穩定。

4 仿真實驗與結果分析

為了驗證SCS-FLOSCMA性能穩定性，將CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA做對比，仿真平臺為Matlab R2014a。

仿真一：在高斯噪聲下，比較CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法的性能，采用水聲信道h=[0.313 2，-0.104 0,0.890 8,0.313 4]，發射信號為4 000點的4QAM信號，信噪比為SNR=20 dB，均衡器長度為7，CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001，低階統計量p=1.7，SCS-FLOSCMA算法中種群數量均為20，最大迭代次數300，判決門限為適應度fit≤0.1，迭代停滯上限Max_limit=5，發現概率為Pa=0.25，特征指數α=1.5，蒙特卡洛400次仿真結果如圖3所示。

圖3表明，當環境噪聲為高斯噪聲時，CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法最后均可以達到理想的均衡效果。而SCS-FLOSCMA算法可以最快收斂，CMA算法收斂速度則最慢。

圖3 高斯噪聲環境下均方誤差曲線Fig.3 Curve of mean square error under gaussian noise

仿真二：在α穩定分布噪聲中，比較CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法的性能。采用廣義信噪比GSNR來衡量信號與脈沖噪聲之間的強弱關系，如式(10)所示[13]：

GSNR=10lg(E(|y(k)|2)/γ)

(10)

仿真實驗中取GSNR=25 dB，均衡器長度為7，CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001， SCS-FLOSCMA算法中種群數量為20，最大迭代次數300，判決門限為適應度fit≤0.1，迭代停滯上限Max_limit=5，發現概率為Pa=0.25，脈沖噪聲的特征指數α=1.7，β=a=0，蒙特卡洛400次仿真結果如圖4、圖5所示。

圖4 三種算法星座圖Fig.4 Constellation of CMA、FLOSCMA and SCS-FLOSCMA

圖5 脈沖噪聲環境下均方誤差曲線Fig.5 Curve of mean square error impulse noise

從圖4、圖5可以看出，在脈沖噪聲環境下，CMA不能達到理想均衡效果，如圖4、圖5所示，其均方誤差曲線波動極大，而FLOSCMA、SCS-FLOSCMA則相對來說可以有效收斂。其中SCS-FLOSCMA星座圖中點最集中，收斂速度最快且均方誤差曲線最平穩。所以SCS-FLOSCMA算法可以在α穩定分布噪聲環境下很好的工作，在不同噪聲環境下適應力都較強。

5 結論

本文提出了基于改進布谷鳥算法的分數低階盲均衡算法。該算法改進CS算法，引入了椋鳥群行為，增大了CS的搜索效率，可以使得算法有效收斂至全局最優；然后考慮FLOSCMA的特點，將其代價函數加以修正，作為SCS的適應度函數，將巢作為FLOSCMA的初始權向量，并進行精細搜索。仿真表明，該算法在不同噪聲環境下均能有效工作，特別在脈沖噪聲環境下，穩態誤差以及收斂速率要明顯優于CMA、FLOSCMA。