基于阻塞矩陣預處理的抗主瓣干擾算法

胡海濤，張劍云，李小波，周青松

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

近年來抗雷達主瓣干擾成為研究的熱點，針對雷達的主瓣干擾已經提出了多種算法，王建明提出了利用特征矩陣近似聯合對角化的盲源分離算法抗主瓣干擾技術[1]，但當信噪比較低的情況下效果下降顯著，之后周青松等人對此做了改進，首先對接收到的信號進行盲源分離，然后利用分數階傅里葉變化(FRFT)對分離的信號進行處理[2]，但是這種算法破壞了信號的本身特性，對后期信號的參數估計帶來了困難。董瑋等人提出了基于約束獨立分量分析的雷達抗主瓣干擾算法[3]，該算法對非相干干擾信號可以取得較好的分離效果，但是對于相干干擾不能有效地分離目標信號和干擾信號。戴幻堯利用天線的極化特性，研究了利用信號的極化特性濾除主瓣干擾的算法[4]，但是這種算法的抗干擾性能有限。胡航研究了單脈沖四通道主瓣干擾抑制算法[5]，這種算法相對于三通道而言多構造出一個雙差波束，將主瓣干擾抑制掉。但是這種算法相對于傳統的三通道單脈沖測角而言，增加了系統的復雜度，且這種算法只能抑制掉一個主瓣干擾。S.J.Yu提出了用阻塞矩陣預處理的算法[6]，但是當存在主瓣干擾時可能會導致主瓣波束失真等問題。由于該算法思路比較清晰，而且取得了很好的效果，得到了廣泛的關注，Carlson B D.說明了對自適應線性約束最小功率波束形成算法最優權矢量可以表示為波束形成的對角加載形式[7]，但無法對加載電平進行精確地求解，只能用數值估計的方法得到近似解。Yang J提出了一種基于對角加載和線性約束相結合的方法[8]來解決主瓣波束失真的問題，加載電平選取為數據協方差矩陣除去較大特征值后的平均值，但是這種方法對特征值平均值的計算也不易選取。本文針對這一問題，對主瓣方向發生的原因進行了詳細的分析，提出了改進的基于阻塞矩陣預處理的抗主瓣干擾算法。

1 信號模型

X=[x1,…,xM]=AS(t)+n(t)

(1)

當采用自適應波束形成算法抗干擾時，對接收到的樣本進行加權，生成的權矢量能自適應地在樣本信號方向形成零陷，從而能抑制干擾。假設樣本中只有干擾和噪聲信號，則可表示為：

Xn+i(k)=An+iSn+i(k)+n(k)=

(2)

式(2)中，k為快拍數，k=1,…,K，Xn+i為N×1維的干擾噪聲的數據，An+i表示干擾信號的導向矢量組成的矩陣，Sn+i表示干擾信號的P×1維矢量。為了方便分析，在后面算法的推導中均用X(k)表示陣元接收到的干擾和噪聲Xn+i(k)。

2 基于阻塞矩陣預處理的抗主瓣干擾算法

2.1 阻塞矩陣預處理算法波形失真分析

假設有干擾信號從天線的主瓣進入，為了抑制干擾，首先利用空間譜估計理論估計出干擾信號的方位角，由于主瓣的干擾信號是從主瓣進入的，所以干擾信號的能量一般大于信號和干擾的噪聲，利用ESPRIT算法或者MUSIC算法可以精確地估計出干擾信號從主瓣進入的方向：

(3)

式(3)中，Un為陣列接收到的干擾和噪聲的協方差矩陣對應的特征向量，a(θ)為導向矢量。與MUSIC算法譜峰相對應的是干擾信號的DOA，由于利用阻塞矩陣對消主瓣上的干擾只需要知道主瓣的干擾方向，所以在搜索從主瓣方向進入干擾信號的DOA時，只需在主瓣寬度方向上搜索，這樣可以減少計算量。

當估計出主瓣干擾的DOA時，對樣本信號進行干擾對消預處理，假設預處理后的信號為Y,則Y=BX，其中B為：

(4)

干擾對消前，第k個天線接收到的信號可以表示為

(5)

經過處理后的Y顯然為N-1維的向量，干擾對消后第k個天線接收到的信號可以表示為：

(6)

對于經過阻塞矩陣預處理之后的天線方向圖會發生偏移，分析如下：

Y1=A1S1+n1

(7)

可以看出經過阻塞矩陣對消后沒有改變信號的波達方向，但是經過預處理后損失了一個天線的自由度，導致期望信號的導向矢量和經過預處理后剩余干擾相對于未經預處理的丟失了一維，而導向矢量的另一維卻沒有變。假設用N-1陣列接收只包含目標信號和剩余的干擾信號，則

Y0=A0S0+n0

(8)

顯然A1=A0，S1=S0Λ，其中Λ=diag{1-ej(u0-u1),1-ej(u2-u1)…,1-ej(uP-u1)}。

所以

RY=E[YYH]=E[Y1YH]=

A1RS1A1H+E[n1n1H]=

A1RS1A1H+σn2BBH

(9)

類似的有

RY0=E[Y0Y0H]=A0RS0A0H+E[n0n0H]=A0RS0A0H+σn2I

(10)

式(9)中，RS1=E[S0S0H]。

比較RY和RY0，我們可以看出兩者的協方差矩陣并不相同，而經過預處理后的數據RY在自適應波束形成時使用了理想的導向矢量，所以處理后的主瓣方向會有主瓣發生偏移、變形和副瓣電平增高等問題。

為了克服這一問題，文獻[8]提出了一種基于對角加載的算法來解決主瓣方向偏移的問題，通過該算法有效地解決了阻塞矩陣預處理之后波束形成主波束發生偏移的問題，但是該算法對于對角加載的電平的選取，是靠經驗選取的，如果加載電平過小將導致加載量不夠，主瓣偏移不能得到很好地解決，而如果加載電平選取的過大，盡管主瓣能很好地對準目標方向，但將導致副瓣的零陷發生偏移，與副瓣的干擾方位不同。

2.2 基于二次不等式約束的LCMV波束形成算法

對于線性約束最小方差(LCMV)波束形成算法的加權矢量二次約束可以有效地改善波束指向與信號的不適配問題，最佳加權矢量可以表示為LCMV算法的對角加載形式為：

w=(Rx+λI)-1C[CH(Rx+λI)-1C]-1f

(11)

通過仿真驗證了該算法能有效解決波束指向發生偏移的問題，但是對于加載量λ的選取沒有理論的分析，經驗因素影響較大。

通過上述分析，由于利用阻塞矩陣對信號預處理后，得到的導向矢量與真實的導向矢量有一定的誤差，為了滿足在期望信號方向無失真的接收，通常權值矢量w的模值會很大，對導向矢量w進行二次不等式約束可有效抑制主瓣方向因此而發生的偏移問題，此時的LCMV波束形成算法可表示如下：

(12)

對于該約束方程的求解，利用Lagrange乘數法進行求解，可以將其轉化為如下函數的極值問題，上述約束問題可以轉化為下式關于變量w,λ,μ的最小值問題

f1(w,λ,μ)=wHRxw+λ(‖w‖2-ε)+μH(f-CHw)+(f-CHw)Hμ

(13)

式(13)中，λ為拉格朗日乘數，且滿足λ≥0，Rx+λI>0，μ為拉格朗日矢量，下面對式(13)關于w的最小化求解進行分析。

1)當λ=0時，即λ(‖w‖2-ε)=0即：

f1(w,λ,μ)=wHRxw+μH(f-CHw)+

(f-CHw)Hμ

(14)

上式對于w微分，并令結果為零，可得

w=Rx-1Cμ

(15)

將w代入約束條件CHw=f，可得

μ=(CHRx-1C)-1f

(16)

由于Rx-1為接收信號的協方差矩陣，故該矩陣為Hermitian矩陣，根據矩陣的性質[Rx-1]H=Rx-1，將μ代入(15)可得最終加權矢量的表達式

w=Rx-1C(CHRx-1C)-1f

(17)

由于λ(‖w‖2-ε)=0，此時約束‖w‖2≤ε不能對權值w有效約束，導致算法的穩健性較差。

2)當λ≠0時，為了使算法具有較好的穩健性，ε應滿足

ε=wHw

(18)

該條件約束著ε的上限，則

f1(w,λ,μ)=wHRxw+λ(‖w‖2-ε)+μH(f-CHw)+(f-CHw)Hμ=wH(Rx+λI)w-wHCμ-μHCHw-λε+μHf+fHμ=wH(Rx+λI)w-wHCμ-μHCHw+μHCH(Rx+λI)-1Cμ-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ= [wH(Rx+λI)-μHCH][w-(Rx+λI)-1Cμ]-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ= [w-(Rx+λI)-1Cμ]H(Rx+λI)· [w-(Rx+λI)-1Cμ]-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ

(19)

f2(λ,μ)=-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ

(20)

對f2(λ,μ)關于μ求導

(21)

并令結果為零，可以求得

(22)

將其代入f2(λ,μ)可得

f3(λ)=-λε+fH[CH(Rx+λI)-1C]-1f

(23)

上式對λ求導并令結果為零可得

ε=fH[CH(Rx+λI)-1C]-1· [CH(Rx+λI)-2C][CH(Rx+λI)-1C]-1f

(24)

利用牛頓迭代法對λ其進行求解，可以求得λ的值。

(25)

可以看出上面公式和文獻[7]采用對角加載項的算法所得的權值w的表達式一樣，但是采用對角加載項的算法，對于加載電平的選取具有很大的主觀性，選取加載電平的大小是否合適直接影響波束形成的好壞。本文通過對導向矢量進行二次不等式約束，并利用牛頓迭代法對公式(24)求出λ的值，有效地解決了波束形成的最優加權矢量的求解問題。

3 仿真驗證

為了驗證所提出算法的有效性，進行如下仿真實驗。假設陣列為理想的均勻線性陣，陣元個數N=16，陣元間距d=λ/2。假設空間中存在一個期望信號和三個等功率互不相干的干擾信號，期望信號的方位角為0°，干擾信號的方位角分別為5°，-30°和40°，各通道內的噪聲均為高斯白噪聲，其中信噪比為0 dB，干噪比為40 dB，陣列采樣快拍數K=500。

實驗一 首先采用MUSIC算法驗證了用阻塞矩陣抑制主瓣干擾的有效性。圖1(a)和圖1(b)分別給出了未經阻塞矩陣預處理和經阻塞矩陣預處理后，利用MUSIC算法對預處理前和預處理后空間譜估計的結果。從圖中可以看出，經過阻塞矩陣處理后有效地消除了主瓣干擾的影響。

圖1 利用MUSIC算法估計預處理前 和預處理后的DOA對比Fig.1 MUSIC algorithm estimation of pre-and post-pretreatment DOA comparisons

實驗二 圖2(a)分別給出了用LCMV算法、SMI算法和Capon算法形成的未經阻塞矩陣預處理的波束形成方向圖，從圖中可以看出三種算法均在干擾處形成了較深的零陷導致了主波束變形、副瓣電平升高且峰值發生偏移，這會導致輸出信干噪比(SINR)下降，虛警概率上升等問題。

圖2(b)給出了未經過阻塞矩陣處理和經過阻塞矩陣預處理之后利用LCMV算法波束形成后得到的方向圖的對比。從圖中可以看出，經過阻塞矩陣預處理之后的方向圖，雖然在一定程度上解決了主波束變形和副瓣電平升高的問題，但也導致了主波束指向發生嚴重偏移的問題，這會嚴重影響后期處理的測角精度。

圖2 不同波束形成算法得到的方向圖Fig.2 different beamforming algorithm obtained by the direction of the map

實驗三 圖3分別用SMI算法、對角加法和本文提出的算法對經過阻塞矩陣預處理后的數據進行自適應波束形成的波束方向圖。

圖3 自適應波束方向圖Fig.3 Adaptive beam pattern

從圖中可以看出三種算法均在副瓣干擾的角度形成了較深的零陷，而在主瓣的位置有效抑制了干擾，克服了自適應波束形成帶來的主瓣變形和副瓣電平升高等問題。但是從圖中可以看出通過SMI算法得到的方向圖指向和真實方向有較大的偏差，而通過采用對角加法的LCMV算法，雖然主方向指向得到很大的改善，但是副瓣電平有所提高，且存在電平加載量選取與經驗有關，選取過大會導致副瓣零陷發生偏移，選取過小會導致加載量不足等問題。通過本文算法，對基于LCMV算法的導向矢量w進行二次不等式約束，然后利用本文提出的Lagrange乘數法進行求解可以精確求解出λ的值，可有效避免加載電平選取經驗化問題。

實驗四 圖4是分別在不同的快拍下利用不同算法得到的方向圖。

圖4 不同快拍下波束形成方向圖Fig.4 beamforming pattern under different snapshots

從圖中可以看出采用對角加法的LCMV算法受快拍數影響較大，當在低快拍時該算法的副瓣發生嚴重變形，已經不能正常工作，而隨著快拍數的增加，副瓣波束得到明顯的改善。而本文的算法受快拍數影響較小，在低快拍時波束仍能保持較好的性能。

實驗五 為了衡量不同算法形成的波束對噪聲的抑制效果，引入抗干擾改善因子(IF)的定義：

(26)

式(26)中，SINR0為經過波束形成處理后的信干噪比，SINRi為輸入信號的信干噪比。由于經過預處理后，信號沒有參與數據協方差R的計算，也就是說經過自適應波束形成得到的自適應權重w不會對信號相消，所以SNR0=SNRi，式(26)可寫為：

(27)

從圖5可以看出通過SMI算法相對于另外兩種算法得到的改善因子較小，也就是說輸出的干噪比仍較大，效果不理想，而通過對角加法算法一定程度上使改善因子得到提高，但是改善因子在低快拍時受快拍數影響較大。通過比較可以看出本文的算法獲得的改善因子較高，即使在低快拍時仍能得到較好的效果。

圖5 改善因子IF隨快拍數的變化Fig.5 Improve the factor with the rapid changes in the number of shots

4 結論

本文提出了基于阻塞矩陣預處理的抗主瓣干擾算法，該算法利用MUSIC算法估計出主瓣干擾的角度，然后利用估計出的干擾的角度構造阻塞矩陣對主瓣干擾進行預處理，針對預處理得到的數據利用LCMV波束形成算法得到的方向圖存在主瓣偏移等問題，對這一現象進行了詳細的分析，最后利用對加權矢量二次不等式約束解決波束指向與信號不匹配的問題，但是對于加載電平λ的選取人為經驗因素較大。對此，本文對方程中λ的求解問題提出了利用Lagrange乘數法進行求解，可以精確地求解出λ的值，最后通過仿真驗證了本文提出算法的有效性。但是由于本文算法首先需要利用MUSIC算法估計出干擾所在的角度，然后利用此信息構造出阻塞矩陣，如果陣列誤差估計角度較小的情況下可以取得較好的抗干擾效果，但是若陣列的估計角度存在較大誤差情況下，構造的阻塞矩陣無法完全將主瓣進入的干擾阻塞掉，從而導致輸出信噪比下降，為此需要進一步對算法進行優化，增強算法的魯棒性。