基于差分測(cè)量的磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)

李青竹，李志寧，張英堂，范紅波

(陸軍工程大學(xué)車輛與電氣工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

磁異常探測(cè)(Magnetic Anomaly Detection，MAD)技術(shù)可以對(duì)地下或者水下小尺度磁性目標(biāo)進(jìn)行定位與識(shí)別[1]。相比常規(guī)磁矢量分量與總場(chǎng)強(qiáng)度，利用磁梯度張量(Magnetic Gradient Tensor，MGT)進(jìn)行磁異常探測(cè)，能提供目標(biāo)體更豐富的姿態(tài)信息，具有更高空間分辨率，且抗干擾能力強(qiáng)，能夠適應(yīng)較復(fù)雜的測(cè)量環(huán)境[2-3]。磁梯度張量探測(cè)具有廣闊應(yīng)用前景，如航空磁測(cè)與導(dǎo)航、礦產(chǎn)勘探與土壤黑色金屬搜索、探尋未爆彈、排雷、潛艇偵查或水下定位、反演識(shí)別等[4-5]。

直接測(cè)量磁場(chǎng)梯度本質(zhì)上難以實(shí)現(xiàn)，可將矢量磁傳感器陣列組合構(gòu)建張量系統(tǒng)，利用傳感器短距離基線磁矢量差近似估計(jì)磁標(biāo)勢(shì)二次偏微分，實(shí)現(xiàn)張量分量差分測(cè)量[6]。目前主要有超導(dǎo)效應(yīng)和磁通門法兩種類型[7-9]：前者采用超導(dǎo)量子干涉儀構(gòu)建，靈敏度極高但量程范圍較小，更適用于小范圍微觀工況如生物磁測(cè)、金屬無(wú)損探傷等，且成本高，系統(tǒng)安裝工藝與測(cè)量環(huán)境嚴(yán)格；后者利用磁通門傳感器陣列測(cè)量各正交方向的磁場(chǎng)分量讀數(shù)空間變化率，其成本更低且安裝要求簡(jiǎn)單，利于批量生產(chǎn)制造。

目前研制的磁梯度張量系統(tǒng)主要有直角四面體型、正四面體型、十字形和三角形等結(jié)構(gòu)，在各自測(cè)量條件下均達(dá)到了較好的測(cè)量效果，但相同條件下不同結(jié)構(gòu)尋優(yōu)依據(jù)不明確，關(guān)于磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析與選型對(duì)比研究也鮮有報(bào)道。磁傳感器的配置結(jié)構(gòu)將直接影響張量的測(cè)量可行性及精度，必須優(yōu)化設(shè)計(jì)以減小其產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)誤差[10]，確定并搭建最優(yōu)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是磁梯度張量探測(cè)的基礎(chǔ)。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了基于差分測(cè)量的磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)方法。

1 磁梯度張量測(cè)量要素

磁梯度張量定義為磁場(chǎng)矢量三分量在各正交方向上的空間變化率[2]，共9個(gè)元素。若B表示磁場(chǎng)矢量，磁梯度張量矩陣G可表示為：

(1)

式(1)，中Bij(i,j=x,y,z)表示磁梯度張量分量，φm表示磁標(biāo)勢(shì)，Bx、By、Bz為磁矢量三分量。設(shè)環(huán)境為無(wú)源靜磁場(chǎng)，由麥克斯韋方程組知磁場(chǎng)旋度和散度為零，即·B=0，×B=0，為哈密頓算符，則：

(2)

故G對(duì)稱且無(wú)跡，式(1)中9個(gè)元素僅5個(gè)元素相互獨(dú)立，有Bxy=Byx、Bxz=Bzx、Byz=Bzy、Bzz=-Bxx-Byy。由式(1)知，磁梯度張量為磁標(biāo)勢(shì)φm的二次偏微分和磁場(chǎng)矢量的偏微分，無(wú)法直接測(cè)量，實(shí)際測(cè)量中利用不同位置的磁矢量場(chǎng)的差分代替偏微分近似得到磁梯度張量各分量，計(jì)算公式為：

(3)

式(3)中，ΔBi為兩相鄰矢量磁傳感器測(cè)得的磁場(chǎng)i分量的差，Δdj為兩磁傳感器j方向上的距離，定義為基線距離。

2 磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析

2.1 完整磁梯度張量系統(tǒng)及結(jié)構(gòu)誤差

磁梯度張量矩陣G的9個(gè)元素若均由差分計(jì)算得到，則完整的張量系統(tǒng)共需要18個(gè)單軸分量輸出。在空間建立笛卡爾坐標(biāo)系，規(guī)定x軸正向?yàn)闁|(E)，y軸正向?yàn)楸?N)，z軸正向朝上，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，由6個(gè)矢量磁傳感器構(gòu)成，基線距離為d，整個(gè)系統(tǒng)共有18個(gè)單分量磁軸。

圖1 十八單軸磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The configuration of the 18-axle gradient tensor system

因G中九個(gè)分量中僅有五個(gè)是獨(dú)立的，因此，可以對(duì)張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使得由傳感器配置結(jié)構(gòu)引起的測(cè)量誤差最小且傳感器易于安裝和校正。根據(jù)式(3)，利用差分近似微分時(shí)，因忽略了泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)，實(shí)測(cè)磁梯度張量值與理論值存在一定固有偏差，即結(jié)構(gòu)誤差，其則系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)中心O點(diǎn)的理論二階張量結(jié)構(gòu)誤差矩陣為[9]：

(4)

由式(4)可知，張量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)誤差主要由磁矢量的高階導(dǎo)數(shù)和基線距離決定，而隨著階數(shù)的增加，高階導(dǎo)數(shù)的量綱迅速衰減，因而結(jié)構(gòu)誤差在實(shí)際測(cè)量中可忽略不計(jì)，但在考慮安裝和測(cè)量方便條件下應(yīng)盡量選擇實(shí)際結(jié)構(gòu)誤差最小的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

2.2 五種簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)及張量測(cè)量矩陣

對(duì)十八單軸磁梯度張量系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，可變形為平面十字形、等邊三角形、正方形、直角四面體型和正四面體型等結(jié)構(gòu)形式，設(shè)d為基線距離，傳感器

標(biāo)號(hào)為i(i=1,2,3,4)，則各配置結(jié)構(gòu)示意圖如圖2。

設(shè)磁傳感器分量輸出Bpq(p=1,2,3,4;q=x,y,z)表示傳感器p在q方向上的磁場(chǎng)分量讀數(shù)，各結(jié)構(gòu)配置下測(cè)得中心O點(diǎn)張量矩陣表達(dá)式如下：

1)平面十字形結(jié)構(gòu)

(5)

2)直角四面體型結(jié)構(gòu)

(6)

3)等邊三角形結(jié)構(gòu)

(7)

4)正方形結(jié)構(gòu)

(8)

5)正四面體型結(jié)構(gòu)

(9)

圖2 五種簡(jiǎn)化磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The configuration of 5 kinds of the gradient tensor system

由以上各式知，基于特定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，十字形、三角形和正方形等平面結(jié)構(gòu)的張量測(cè)量矩陣有6個(gè)獨(dú)立分量，而直角四面體和正四面體型機(jī)構(gòu)的張量測(cè)量矩陣有9個(gè)獨(dú)立分量。

2.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與分辨率

傳感器之間的基線距離為各種配置類型的張量系統(tǒng)尤為重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在一定程度上直接決定了張量理論測(cè)量精度及張量系統(tǒng)探測(cè)距離。若希望測(cè)得磁性目標(biāo)的磁磁梯信息，則要求張量系統(tǒng)分辨率高于目標(biāo)體在該測(cè)量點(diǎn)產(chǎn)生的磁梯度張量值。若兩傳感器以測(cè)量點(diǎn)為中心對(duì)稱排列且基線距離為d，系統(tǒng)分辨率和基線距離與測(cè)量點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度間關(guān)系可表示為：

(10)

式(10)中，κ表示張量分量測(cè)量分辨率，單位為nT/m；e為空間任意方向的單位矢量。分辨率與基線距離成正相關(guān)，但并不是說(shuō)基線距離越小結(jié)構(gòu)誤差越小，還與目標(biāo)磁矩大小、磁傳感器精度和定位距離等有關(guān)[11]，因此需要綜合考慮傳感器分辨率、探測(cè)距離、被探測(cè)目標(biāo)體磁場(chǎng)大小和基線距離等參數(shù)進(jìn)行張量系統(tǒng)搭建。

3 單航線測(cè)量試驗(yàn)與結(jié)構(gòu)尋優(yōu)

由于背景地磁場(chǎng)梯度很小，磁性目標(biāo)探測(cè)時(shí)，測(cè)量得到的一定范圍內(nèi)磁梯度張量場(chǎng)可認(rèn)為僅由磁異常場(chǎng)產(chǎn)生。當(dāng)目標(biāo)距離測(cè)量點(diǎn)大于2.5倍的目標(biāo)長(zhǎng)度時(shí)，磁性目標(biāo)可簡(jiǎn)化為磁偶極子[12]，此時(shí)磁性目標(biāo)可由六個(gè)未知量描述，即磁偶極子的位置矢量r=(x,y,z)T和磁矩矢量m=(mx,my,mz)T。磁矩分量可由磁矩模和方向余弦表示，設(shè)磁矩模為M=|m|，磁偏角為D，磁傾角為I，則方向余弦為e=cosIcosD、f=cosIsinD、g=sinI，對(duì)應(yīng)的磁矩分量為mx=Me、my=Mf、mx=Mg。磁矩矢量為m的磁偶極子在距離其r處產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量和磁梯度張量的5個(gè)獨(dú)立分量可分別由式(11)、式(12)得到：

(11)

(12)

圖3 單航線磁偶極子磁梯度場(chǎng)測(cè)量試驗(yàn)示意圖Fig. 3 Single heading-line survey in magnetic dipole gradient field measurement schematic

由結(jié)果可知，推導(dǎo)的各結(jié)構(gòu)張量測(cè)量矩陣均能在一定精度范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)磁異常體全張量場(chǎng)測(cè)量，在相同場(chǎng)源與基線尺寸條件下，平面十字形和正方形結(jié)構(gòu)的測(cè)量精度最高，在±500 nT/m的張量分量值測(cè)量范圍內(nèi)RMSE控制在0.2 nT/m內(nèi)，且相比于等邊三角形、空間四面體型，結(jié)構(gòu)誤差引起的測(cè)量偏差小于其10倍以上。此外，平面十字形結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于安裝，且方便繞結(jié)構(gòu)中心點(diǎn)Z軸旋轉(zhuǎn)測(cè)量較高效地進(jìn)行傳感器系統(tǒng)誤差(如非正交性、軸位偏差和靈敏度差等)和陣列間非對(duì)準(zhǔn)誤差的校準(zhǔn)作業(yè)[14]，更具實(shí)用性。

圖4 平面十字形磁梯度張量系統(tǒng)的張量分量測(cè)量值與理論值對(duì)比Fig.4 Comparison of the measured and theoretical values of the tensor components of the cross magnetic gradient tensor system

圖5 五種結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)進(jìn)行單航線測(cè)量的張量分量偏差Fig.5 The tensor component deviation of single heading-line survey with tensor systems in five kinds of structures

4 結(jié)論

本文提出了基于差分測(cè)量的磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)方法。根據(jù)差分磁梯度張量系統(tǒng)測(cè)量原理，該方法分析完整磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)配置及結(jié)構(gòu)誤差，提出五種簡(jiǎn)化配置結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)設(shè)計(jì)概念并推導(dǎo)了張量測(cè)量矩陣及測(cè)量分辨率，對(duì)五種結(jié)構(gòu)的張量系統(tǒng)進(jìn)行相同基線尺寸下的單航線磁偶極子磁梯度張量場(chǎng)測(cè)量試驗(yàn)從而對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尋優(yōu)。仿真試驗(yàn)表明，該方法尋優(yōu)效果明顯，對(duì)同一測(cè)量目標(biāo)，相同基線尺寸及傳感器分辨率條件下，平面十字形和正方形磁梯度張量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差最小，其理論測(cè)量精度最高，且考慮到安裝與操作的便捷性及較易于進(jìn)行傳感器誤差參數(shù)校準(zhǔn)，平面十字形結(jié)構(gòu)則更適用于科研與工程實(shí)際，而三角形、正四面體和直角四面體型理論測(cè)量精度較低，其適用于有特殊結(jié)構(gòu)需求的載體場(chǎng)合，為張量磁測(cè)儀器的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用提供參考。