導數綜合題中構造函數的兩個著眼點

縱觀近年各地高考試題，導數綜合題的熱度始終不減，也是試卷中難度較大，區分度較高的試題之一。而利用導數研究一個函數時，往往會涉及到構造新的函數，利用對新的函數的研究，來達到對原來函數研究的目的，在這個過程中，如何構造一個或多個恰當的函數，往往是學生覺得比較困難的地方。本文結合筆者的教學實踐，談談構造函數的兩個著眼點——形式優美、性質明晰。

一、構造形式優美的函數

形式服務于內容，形式上的美，必然意味著內容上的明確、深刻。因此，在構造函數時，要著眼于形式優美，構造出利于問題研究的恰當的函數。

1.構造結構協調的函數

結構協調是一種美，結構美的函數更有利于我們去研究，在實際應用中，要根據所研究的問題，著眼于函數的類型、次數、系數等，根據要解決的問題，構造結構協調的函數。

案例1（2018年高考全國卷III理科第21題）已知函數 f(x)=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（I）若 a=0，證明：當 -1＜x＜0 時， f(x)＜0；當x＞0時， f(x)＞0；

（II）若 x=0是 f(x)的極大值點，求 a.

分析對于第（I）小問，當a=0時，f(x)是一個不含參數的函數，于是利用導數研究函數的單調性，從而得到解答即可。

當 -1＜x＜0 時，g′(x)＜0；當 x＞0 時，g′(x)＞0.

故當 x=-1時，g(x)≥g(0)=0，且僅當x=0時，g(x)=0，從而 f′(x)≥0，且僅當 x=0 時，f′(x)=0，所以f(x)在（-1，∞）單調遞增。

又 f(0)=0，故當 -1＜x＜0 時，f(x)＜0；當 x＞0時， f(x)＞0.

解：（II）①若 a≥0，由（I）知，當 x＞0 時，f(x)≥（2+x）ln（1+x）-2x＞0 = f(0)，這與 x=0 是 f(x)的極大值點矛盾。

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點當且僅當x=0是h(x)的極大值點。

上述解法通過構造結構協調的函數，將一個復雜的函數轉化為一個簡單的函數，使得導數作為工具能更好地發揮作用，避免了多次求導帶來的繁瑣。

2.構造形式簡潔的函數

（I）討論f(x)的單調性；

將一個形式復雜的函數轉化為兩個形式簡潔的函數來研究，在問題解決的同時，也欣賞到數學的簡潔之美，在理性思考中提升感性認識。

二、構造性質明晰的函數

彭海燕在《“套路”和“模型”視角下恒不等式問題的探討》一文中曾談到，在“套路”和“模型”視角下，根據常見函數如x與ex的和、差、積、商，x與lnx的和、差、積、商等“模型”，構造出凹凸性不一致的兩個函數，從而很方便地對原問題進行研究，就是所謂的“套路”。實際上，構造的函數性質明晰，將有利于對其以及對原來函數的研究，這里談的性質包括單調性、奇偶性、周期性、對稱性、凹凸性，漸近線等。

案例3（2018高考天津卷理科第20題）已知函數 f(x)=ax，g(x)=logax，其中 a＞1.

（I）求函數h(x)= f(x)-xlna的單調區間；

分析（I）（II）略.對于（III）曲線 y= f(x)在點（x1，ax1）處的切線 l1：y-ax1=ax1lna·（x-x1）.

為此需要構造新的函數，站在函數的高度來研究方程解的情況。我們給出兩種構造方法。

下面證明存在實數t，使得h(t)＜0.

由上圖可以很清楚地知道u(x)，v(x)的性質：當x→-∞ 時，u(x)→-1 且 u(x)＞-1，v(x)→0 且 v(x)＜0；

結合圖像和性質可以得到解法二。

一般說來，形式優美是為性質明晰服務的，構造的函數結構協調、形式簡潔，其性質也更容易凸顯，更有利于我們對函數的研究與把握.因此，在實際教學中，引導學生關注形式、注重內容（性質），是一個重要的任務。