使用“基本不等式”解題時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)分析

摘 要：作者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，在闡述基本不等式內(nèi)容的基礎(chǔ)上，闡述了基本不等式解題的易錯(cuò)點(diǎn)，然后典型例題分析了基本不等式的正確解法，以期為學(xué)生提供些許指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：基本不等式；易錯(cuò)點(diǎn)；解題方法

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，許多函數(shù)最值、較為復(fù)雜的不等式、數(shù)列極限等問(wèn)題都能找到基本不等式的影子，并通過(guò)使用基本不等式的性質(zhì)來(lái)得到解答。基本不等式內(nèi)容簡(jiǎn)單，但變式多樣，而且在滿足特定限制條件，即“一正，二定，三相等”時(shí)才能夠使用，許多學(xué)生由于對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹，導(dǎo)致做題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

一、 基本不等式的內(nèi)容

（一） 基本不等式：a+b2≥ab

成立條件：a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

（二） 利用基本不等式求最值問(wèn)題：

已知x>0，y>0，則

1. 如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是2p。（簡(jiǎn)記：積定和最小）

2. 如果和x+y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是p24。（簡(jiǎn)記：和定積最大）

這三個(gè)條件簡(jiǎn)稱為“一正，二定，三相等”。

二、 典型例題剖析

（一） 忽視“一正”條件

例1 求函數(shù)f（x）=x+3x的最值。

錯(cuò)解：此式x與3x的積為定值3，因此根據(jù)積定和最小可知，

f（x）=x+3x≥2x·3x=23，所以函數(shù)的最大值為23。

錯(cuò)因：忽視了使用基本不等式時(shí)“一正a>0，b>0”的條件。

正解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)x>0時(shí)，根據(jù)基本不等式可得：

f（x）=x+3x≥2x·3x=23，當(dāng)且僅當(dāng)x=3x，即x=3時(shí)，取等號(hào)；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，所以f（x）=x+3x=--x+（-3x）≤-2-x·-3x=-23，

只有當(dāng)-x=-3x時(shí)，也即x=-3才能相等。

所以函數(shù)的最大值是23，最小值是-23。

現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)：1函數(shù)y=8-x2-2x（x>0）的最大值是 。

（二） 忽視“二定”條件

例2 若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）

A. 245 B. 285

C. 5 D. 6

錯(cuò)解：由基本不等式：x+3y≥2x·3y=23xy，所以5xy≥23xy，解得xy≥1225，則3x+4y≥23x·4y≥212×1225=245。

所以選A。

出錯(cuò)原因：只有滿足x和y為固定值的時(shí)候才能運(yùn)用基本不等式，解題者忽視了這一條件，因此導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

正解：因?yàn)閤>0，y>0，由x+3y=5xy，得151y+3x=1。所以

3x+4y=15（3x+4y）1y+3x=135+153xy+12yx≥135+15×23xy·12yx=5。

只有當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，所以3x+4y的最小值是5。選C。

現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)：2已知a>0，b>0，且a+b=1，求1a+2b的最小值。

（三） 忽視“三相等”條件

例3 已知函數(shù)f（x）=x2-2x+ax，x∈（0，2]，其中常數(shù)a>0。求函數(shù)f（x）的最小值。

錯(cuò)解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=ax，即x=a時(shí)取等號(hào)。所以函數(shù)f（x）的最小值為2a-2。

錯(cuò)因：沒(méi)有考慮x=a是否能夠成立。

分析，因x∈（0，2]，所以只有當(dāng)0

f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=ax，即x=a時(shí)取等號(hào)。當(dāng)0

當(dāng)a≥2，即a≥4時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=2時(shí)，

f（x）取得最小值為a2。

綜上所述：當(dāng)0

現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)：3若函數(shù)f（x）=x+1x-2（x>2）在x=a處取得最小值，則a= 。

三、 結(jié)束語(yǔ)

上述情況為基本不等式常見(jiàn)的錯(cuò)誤，錯(cuò)解的原因往往是考慮情況不到位，忽視常數(shù)的取值范圍而直接去套用公式。因此學(xué)生一定要深刻理解“一正，二定，三相等”的本質(zhì)含義和適用條件，做到解題時(shí)游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁紅.“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（04）.

[2]孫傳平.運(yùn)用基本不等式的三原則七策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（11）.

作者簡(jiǎn)介：

黃翠花，陜西省渭南市，渭南市杜橋中學(xué)。