淺談簡單指對數方程教學中的“其然”與“所以然”

楊心丹

【摘要】立足學生數學能力的培養，把“解簡單的指對數方程”作為方程教學的一只麻雀進行解剖.從函數的角度，挖掘問題的本質，發展數學思維，拒絕落后老套的模式化教學，務實教學，使學生的數學能力獲得內涵式發展.

【關鍵詞】指對數方程；轉化

數學新課程標準有明確的表達術語，用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述學習活動結果目標的不同水平，使用“經歷、體驗、探索”等術語表述學習活動過程目標的不同程度.

其中，新課程目標術語“了解、理解、掌握”，這些詞的基本含義解釋依次如下.了解是指從具體事例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象.理解是指描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系.掌握是指在理解的基礎上，把對象用于新的情境.

在高中數學教材必修一，指數與對數函數的單元中，對簡單的指對數方程的教學要求是掌握簡單的特殊類型指數方程和對數方程的解法，其解決的基本思想是將它們化成代數方程來解.掌握簡單的指對數方程的解法，使學生感悟其中的等價轉化、數形結合、觀察論證、函數與方程等重要的數學思想.簡單的指對數方程是本單元教學的重點與難點，也是使學生學會研究問題的方法，學會學習的很好教學素材.

在實際教學中，對此重難點的突破存在的障礙較多，表現在，對數函數學生首次接觸，學生對該節內容有很強的陌生感，增加了認知難度；相對于學段任務配給的教學時間并不充分，沉重的教與學的壓力不能使該段內容的教學活動做到細致入微；分數競爭中的學生因本內容的高付出低獲得、教參中“簡單基本”的詞意暗示，也使師生的教學在此處淺嘗輒止或望而卻步……這些都導致學生對此知識點能力結果的形成上，以模仿記憶的行為為主要特征.失去理解的記憶自然難以形成能力，記憶也不長久，因此，就發生了在高一時做這道題，講這段的內容，到高三高考復習時，依然做這道題，講這段的內容，學生的感覺沒有發生太多的質的變化.

“知其然而不知其所以然”出自梁啟超《論小說與群治之關系》，意思是只知道事物的表面現象，不知事物的本質及其產生的原因.從教學目標術語“了解、理解、掌握、運用”，再看現實中大多數學生的表現，看課標教參的要求，就知道關于這節的教學工作沒有做到位.數學學習充滿邏輯，也充滿類比，忽略了數學的本質而過度的模仿，只能解決一時而非一世，這并不夸張，甚至與“教書育人”格格不入.教學并非面面俱到，但以點帶面，做精做細一事，才有可能觸類旁通，哲學上稱作“解剖一只麻雀”.簡單的指對數方程就是提供給教學的那只最好、最完整的麻雀.要在簡單的指對數方程這一數學問題上下足功夫，讓學生切身感受“知其然且知所以然”的過程.有必要設計系列的數學問題，為學生的深入理解鋪路.

指數函數的定義域為R，等式化歸時不須附加定義范圍的限制條件，對數函數則不然，這是解指對數方程時兩者在化歸時較為鮮明的區別，也是解對數方程時丟掉條件限制時產生增根的原因，限制也是解方程或不等式在化歸時容易忽視的一個重要內容.在某些教輔材料內，（2）與（3）命名為同底法解簡單的指對數方程.本質是依據函數單調性理論轉換為同一函數，函數值相等則自變量值相同，將原方程轉化為更簡單的方程.

數學的課堂是開放的，研究問題的同時，提醒并告誡學生，要辯證地看問題.化成同底是解答簡單指對數方程方法中的一種，強調化成同底是一種由繁到簡的化歸思路，從題出發，把握構造同底數函數這一重要環節.解題時，并非只有以上這一種思路，思路可以拓展，思路行不通時要學會變通和改變.

解不等式的過程也是方程思想的具體應用，不等式的求解是在函數單調性的條件下，將函數值的大小順序與自變量值的大小順序間的邏輯轉化，實現不等式朝著求解的方向進行化歸，且在化歸的過程中遵守問題本身該有的限制條件.簡單的指對數不等式求解也遵循這一原則.

解簡單的指對數方程（不等式）注重同底的化歸是本節教學的難點，指明應該這樣做，屬于“其然”的范疇.把握并理解應遵循的函數單調性本質，數學思想方法的具體體現，是本節教學的重點，它回答了為什么這樣做的根據理由，是真正的“所以然”.知其然且知其所以然才能使教學富有活力，“解剖一只麻雀”后，教學才經得起時間的推敲和打磨，數學本身蘊含的思想和方法才能產生育人的價值.