高位分段累加算術

端木寧

【摘要】人們一直在尋求著一種能以心算的方式進行快速計算的方法，但傳統(tǒng)的運算方法，對大眾很難實現(xiàn)心算.我們不妨改變一下運算方式，把傳統(tǒng)的由低位向高位運算，變成由高位向低位運算.雖然，本質上只是改變了運算方向，但將會出現(xiàn)一種意想不到的效果.這一改變使運算方向和讀數(shù)方向由原來的逆向，改成了順向一致.其有利于計算過程的記憶和計算結果的讀出，最終有利于心算的實現(xiàn).

【關鍵詞】有理數(shù)運算；心算；速算方法

本文介紹采用高位分段累加計算的方法，來完成有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算.旨在能運用這一方法，使大家提高運算速度，直至掌握心算技能.

我們知道一個數(shù)，如568可以把它表示為500+60+8的形式.由此可見，我們可以把任何一個3位數(shù)，按“位”拆分成若干個百、十、個和的形式.同理，我們也可以把一個任意位數(shù)的數(shù)按位拆分成相應之和的形式.那么，兩個數(shù)的相加就可以表示為它們各個相同位數(shù)值和的形式.如，568+351=（500+60+8）+（300+50+1）=（500+300）+（60+50）+（8+1）=800+110+9=910+9=919.由此，我們發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)相加，可以從高位到低位依次先把它們相應位數(shù)值相加之后，再把各位數(shù)值相加之和從高位到低位依次累加，得出兩個數(shù)相加的結果.從而，我們得出結論：任何兩個數(shù)（或兩個以上的數(shù)）相加減（減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)），都可以從高位到低位，把它們相應位數(shù)值相加減，然后再把加減后的各位數(shù)值從高位到低位依次累加，得出結果.例：8896-3456+2456-2783.解：8896-3456+2456-2783=（8000-3000+2000-2000）+（800-400+400-700）+（90-50+50-80）+（6-6+6-3）=5000+100+10+3=5113（注：熟悉方法后，無須列算式，直接就可在原式中，從高位至低位讀出各位上的計算結果，到末位時，最終結果也就出來了.）

這樣做的目的是使一組多位數(shù)的加減運算，轉化為了它們各相應位數(shù)上的個數(shù)運算，且從高位到低位依次運算，使得運算順序與讀數(shù)順序相一致，當運算至最后一位時，最終答案也就出來了.便于記憶和心算.當掌握了這一方法后，記性好一點的人，可實現(xiàn)心算，即使是記性不好的，只要略做一下筆錄，也能輕松地進行快速計算.

同理，在乘法運算中，我們也可以把乘式中的一個因數(shù)，表述為各個位數(shù)值和的形式，然后，再從高位到低位，分別與另一因數(shù)相乘，最后，再把所得的各位數(shù)值的積相加，得出結果.

例①：654×4=（600+50+4）×4=2400+200+16=2616.

例②：582×12=582×（10+2）=5820+582×2=5820+（500×2+80×2+2×2）=5820+1000+160+4=6984.

在乘方運算中，對2次方、3次方的乘方運算，我們可以把它先轉化為乘法運算，再按乘法運算的方法進行.對高次方的乘方運算，可以先把它們轉化為簡單次方后，再分段運算，最后累加出結果.

例①：18的平方可轉化為182=18×18=18×（10+8）=180+80+64=324.

例②：18的4次方可轉化為184=182×182=（18×18）×（18×18）=（180+80+64）×（180+80+64）=324×324=324×（300+20+4）=（90000+6000+1200）+（6000+400+80）+（1200+80+16）=97200+6480+1296=104976.

除法運算：把被除數(shù)根據(jù)需要拆分后再分級相除，然后再把各級商相加.

例①：567÷9=（540+27）÷9=60+3=63.

例②：598÷12=（480+108+10）÷12=40+9+1012=49+1012≈49.83.

上述方法，適用于有理數(shù)范圍內的加、減、乘、除、乘方運算，并遵循有理數(shù)的基本性質和運算律.特別是在數(shù)目不是十分繁復的情況下，使用本法，更能體現(xiàn)出它的優(yōu)越性.只要能掌握要領，且做適當練習，就能很容易實現(xiàn)快速心算.如今，我們雖然已經擁有了計算機這一輔助工具，但許多場合，心算技能更能顯示出它的獨特優(yōu)勢.推而廣之，其意義在于這一速算方法，如果能在中小學中應用，便能提高學生的學習速度和效果；如果能在人們的生產實踐、商業(yè)活動、科學實驗中應用，便能提高人們的工作效率和社會效益，具有一定的社會意義.