物理學和自然界的數學極值原理

史少杰

【摘要】運用數學極值原理求出的力學、電學、光學等物理學規律完全與能量最低原理、歐姆定律以及折射定理等經典物理學原理一致.數學極值原理是自然界和物理學的一個普遍性原理，它體現了自然界的行為遵循簡單性和經濟性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數學極值原理在自然界中又具體體現為“窗口法則”和“下限法則”.

【關鍵詞】數學極值原理；窗口法則；下限法則

一、數學極值原理的發展過程

在數學分析中，經常求函數的極大值和極小值，被統稱為極值.實際上，世界這本大書是用數學語言寫成的，物理學和自然界等都是按照數學極值原理思想構造而成的.

數學極值原理的原始思想可以追溯到公元前1世紀，亞歷山大里亞學者希羅提出了最短路徑原理，認為光在空間任意兩點間傳播過程總是沿長度最短的路徑進行.公元前2世紀，托勒密也明確提出了最小化的思想，認為光在反射過程中反射角和入射角相等.公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得在他的《光的發射》一書中，提出了光的直線傳播及發射定律.公元4世紀，亞里士多德在對運動進行分析時提出了一類特殊的極值問題，即為等周問題.公元6世紀，希臘哲學家奧林匹奧德魯斯提出了自然現象的“經濟本性”，認為自然界不做任何多余的事情.牛津大學校長格羅斯泰斯特則強調，自然界總是沿最捷路徑運動與變化，而西方哲學史上著名的“奧卡姆剃刀”原則也同樣揭示出理論思維的簡單性和明晰性.大數學家費馬用“最短時間”代替“最短路徑”，他堅信自然界總是以最簡潔、最優美的形式進行，按最優化的軌跡進行.因此，費馬在對光現象的高度概括性解釋似乎暗示著某種更普遍的原理存在的可能.

二、數學極值原理的物理學解釋

數學極值原理在物理學的發展演變過程中也發揮著重要的作用，而且應用十分廣泛.數學極值原理適用范圍包括力學、電學、光學、熱學等各個物理學領域.

（一）力學的數學極值原理

物理學各領域中常常存在著可以作為作用量的物理量，實際物理過程就是使體系的作用量取極值（極大值或極小值）的過程.我們只要能夠把體系的作用量找到，運用數學極值原理，就可以得出物理過程的變化規律.

（二）光學的數學極值原理

在幾何光學中，有光的直線傳播、光的反射定律、光的折射定律三大實驗定律.然而，可以將這三個定律用一個數學極值原理來表述：光線在兩點間的實際路徑是所用時間最短的路徑.

光的直線傳播：兩點之間線段最短，所以在均勻介質中光沿直線傳播.

光的反射定律：解釋如圖2所示，

設光源S發出的光線打在鏡面h上后反射至P點，可能的路徑有很多，要使點S到點P之間用時最短，則必須使光線經點S到點P的傳播距離最短.兩點之間線段最短，作點S的投影S′，連接S′和P與鏡面h相交于O點，則SO和OP距離之和為最短傳播距離.又∠1=∠2=∠3，∠2+∠4=∠3+∠5=90°，所以∠4=∠5，即反射角等于入射角，所以在光的反射定律成立時，S點經h反射到P點的光線用時最短.

（三）電學的數學極值原理

數學極值原理在并聯電路中的分流特征和串聯電路中的分壓特征的表現，其內在本質就是使電路中所耗的發熱功率最小.并聯電路和串聯電路如圖4所示.

由這個例子看出，體系實際的電流分配方式恰好使體系的熱功率達到最小.在用數學極值原理求解時，并未假設已知歐姆定律，卻得出了和歐姆定律一樣的結果.因此，把熱功率看作電路系統里的作用量，并聯電路里實際的電流分配方式和串聯電路中實際的電壓分配方式總是以輸出熱功率最小為原則的，由此可以得到其他的實驗定律.

三、數學極值原理的窗口法則和下限法則

數學極值原理是自然界和物理學的一個普遍性原理，它體現了自然界的行為遵循簡單性和經濟性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數學極值原理又具體體現為“窗口法則”和“下限法則”.

世界這本書是用數學語言寫成的，任何物理現象和工程問題最后都會轉化為數學問題，正如一位數學家所言：一切工程問題都可化為力學問題，一切力學問題都可化為數學問題，一切數學問題都可化為代數問題，一切代數問題都可化為方程求解.數學問題最終必然涉及某個基本“參數”，而“參數”必定在某個范圍內，即“窗口法則”，此窗口由上限和下限所確定，根據數學極值原理，在窗口的下限附近必定得到最優的結果，此為下限法則，即為極值原理.

四、結束語

數學極值原理是自然界和物理學的一個普遍性原理，它體現了自然界的行為遵循簡單性和經濟性原則，即自然界總是以最小的消耗獲得最高的效率和最大的效益.數學極值原理在自然界中又具體體現為“窗口法則”和“下限法則”.道法自然，科學規律和自然界各種現象總是遵從數學極值原理，即以下限法則達到最優.