不等式證明方法的探索

蔡燕斯

【摘要】不等式滲透在數學的各個領域，是研究高等數學的重要工具.初等數學證明不等式主要采用比較法、綜合法、反證法、配方法、放縮法、判別式法、換元法、利用“1”的代換法、數學歸納法等.在證明過程中利用基本不等式的性質，結合函數和數列的綜合知識.高等數學證明不等式主要將函數的導數作為關注點，從函數的單調性、凸性、拉格朗日乘數法、泰勒公式、微積分中值定理等不同層面對證明不等式的方法進行探討.

【關鍵詞】凸函數；不等式證明；方法探究

不等式證明在高等數學中占有重要的地位，是教學過程中的一個重點，也是學生學習的一個難點.下面列舉了幾個重要的不等式，將函數的導數作為關注點，從函數的單調性、凸性、拉格朗日乘數法、泰勒公式、微積分中值定理等不同層面對證明不等式的方法進行探討.

一、利用函數的導數

（一）利用函數的單調性

利用函數的一階導數證明不等式，關鍵是構造函數，判斷其在相應區間的一階導數的符號，根據符號得出函數在相應區間的單調性來證明.

（二）利用函數的凸性

利用函數的二階導數證明不等式，關鍵是構造函數，判斷其在相應區間的二階導數的符號，根據符號得出函數在相應區間的凸性的定義來證明.

（三）利用函數極值、最值

將要證明的不等式轉化為求極值和最值問題，按照函數求極值和最值的方法證明，此方法一般適用于不等式的一邊是常數.

（四）利用拉格朗日乘數法

當所證的不等式含有兩個及兩個以上變量時，可利用拉格朗日乘數法求多元函數條件極值的方法，選擇合適的目標函數和約束條件.如果沒有明確告訴約束條件，通常把不等式的“一端”作為目標函數，而將“另一端=常數a”作為約束條件[1].

六、結束語

證明不等式的方法多種多樣，根據待證不等式的特點，找到適合的方法可使問題迎刃而解.只有掌握高等數學的基本理論和方法，才能熟練掌握其中的技巧，簡便快捷地解決不等式的證明問題.

【參考文獻】

[1]吳鳳珍.不等式證明的高等數學方法研究[J].四川文理學院學報，2013（2）：10-13.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]楊麗英.柯西不等式的證明及應用[J].內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2013（1）：16-20.