透過現象本質，探究教材細節
——“6.2正切函數的圖象與性質”案例分析

丁澤楠

（上海師范大學附屬中學，上海）

一、教材解讀

教材由細節構成，每一個細節都是教材發展的一個生長點，我們認為這些生長點是解讀教材好的出發點。尋求合理化、智慧化和精確化的教學當然可以推出精彩的課堂教學。

1.注意教材的插圖細節，分析教材內容

細節是什么？教材的每一個插圖都有其內涵。一般來說，圖形直觀形象，其通常是在教學中教材的文字語言往往不能正確形容某種意義或過程的時候所使用。

2.探究教材本質，挖掘教材細節

數學探究能力在日常的教學過程中為學生學習提供了基礎保障，利用一切可能的機會和素材，使學生的探究能力得到發展。本文以滬教版高中數學教材中“正切函數的圖象與性質”為例，通過類比數學內容之間的關系來培養學生探究能力。本文的教學內容是由教師的問題和指導來決定的，通過學生對現有學習探究的體會，學生會探究正切函數的圖象和性質，并利用探究過程形成學習函數的一般方法。

二、教學過程

1.激發學生原有的認知水平，從結構和整體入手

【教學過程片段之一】

師：我們有同學類比正弦函數的定義，定義一個正切函數：對于任意一個實數x都有唯一確定的值tanx與它對應。按照這個對應法則建立的函數關系，表示為y=tanx，叫做正切函數。請問大家，這個定義合理嗎？

師：今天，我們就來研究正切函數的圖象與性質，那么，作函數圖象的常用方法是什么？

生：描點法。

師：描點法是我們作函數圖象的最基本方法，還有其他方法嗎？

生：單位圓，借助正切線，類比正弦函數的方法。

師：大家想，我們在畫y=cosx圖象時利用了平移，目前平移也是我們作圖象的方法之一。那么，正切函數的圖象，你會選擇哪一個方法畫？（描點法）因為它沒有辦法通過我們熟悉的函數平移來得到。

師展示學生畫的正切函數圖象。

師：老師借助單位圓畫出y=tanx的圖象，讓學生觀看。

【思考】主要是讓學生體會研究函數的一般思想方法（數形結合），讓學生自主畫圖，尋找思維沖突源，為本節課優先研究性質做思想基礎。先探究正切函數的性質，再作圖驗證，這與前面研究正弦函數、余弦函數恰好相反。教師要深刻挖掘教材這樣編寫的意圖，加強學生的理性思考，使數形結合的思想體現得更加全面。

【教學過程片段之二】

師：我們從正切函數y=tanx的圖象上看它是否也具有正弦函數y=sinx的一些性質呢？我們一起來探究總結歸納正切函數的圖象及性質。首先，我們來看定義域、值域、周期。

師：理由呢？

師：說得對，根據你所說的T=π，也可證明π是y=tanx的最小正周期。

生：假設 0＜T0＜π 是正切函數的周期，則 tan（x+T0）=tanx恒成立，取x=0

∴0＜k＜1與 k∈Z 矛盾，T=π 是 y=tanx的最小正周期。

師小結：要證明π是最小正周期，需要證明任何一個比0大、比π小的數不可能是它的周期，從正的方面去證，這不可能的，有無數多個數，所以我們想到反證法。

【思考】正切函數的定義域如何反映圖象的特征，對學生而言是一個難點。我通過引導學生類比正弦函數的圖象特征，利用已有的活動經驗來加以理解。在課堂教學中，教師需要挖掘教材的細節，嘗試挖掘教材細節中的豐富內涵，這是學生獲取知識的主要來源，教師應有效探索和開拓發掘，有效生成，并將其作為課堂上的亮點。

【教學過程片段之三】

師：那么正切函數的奇偶性、單調性如何？

師：說得對，根據你說的也可證明，即

師：那么對稱中心呢？

生 2：（kπ，0），k∈Z

師：對稱軸、漸近線方程呢？

【思考】從正切函數的性質可以比較容易地得到周期性和奇偶性，這樣能夠激發學生的學習熱情。研究正切函數的對稱性與單調性是學習的一個難點，學生容易形成“思維定式”。通過問題引領學生類比正弦函數及余弦函數，建構概念。教師在課堂上需要給學生思考留點時間，再引導其用三角函數線解決問題，從特殊的一個周期到一般的區間，讓知識在學生不斷的思考中自然生成并且在思維的基礎上有較大突破和理解。研究圖象的性質是高中學生必須具備的一種能力，學生應深度把握教材細節。

【教學過程片段之四】

師：總結歸納正切函數的圖象及性質內是增函數，

正切函數 y=tanx定義域 ｛x|x≠kπ+π值 域 R（無最大值，無最小值）2 ，k∈Z｝周 期 T=π奇偶性 奇函數2 ，kπ+π2），k∈Z對稱中心 （kπ單調性 增函數，增區間為（kπ-π 2 ，0），k∈Z 對稱軸 無漸近線方程 x=kπ+π 2 ，k∈Z

師：我們在畫正弦函數和余弦函數的圖象時，用描五個點的簡單方法，那么在畫正切函數的圖象時，我們也有簡單的方法，可以畫出大致圖象，怎么畫呢？

【思考】引導學生歸納出研究函數的一般方法，為以后研究新的函數積累經驗與方法。

回顧探究過程，掃描知識漏洞，形成知識體系，深刻體會研究數學問題的一般方法和思路，培養學生的綜合概括能力和語言文字的表達能力。

2.在探索中將隱含學生理解的滯后，還原課堂學習反饋效果，體驗知識的應用

【教學過程片段之五】

在同學們已經掌握了正切函數y=tanx的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性、對稱中心和圖象的性質后，現在可以做一些練習：

課堂練習1：（1）根據正切函數的圖象，分別寫出滿足下列條件的集合：

①tanx=-1_______________________；

②tanx＞0________________________

例2：求證：函數f（x）=Atan（wx+φ）的最小正周期

【思考】通過課堂練習和例題的講解，進一步鞏固知識，強化對學生基本技能的訓練和解題的規范化訓練，提高學生課堂及時應用新知和解決問題的能力，體現了因材施教的方法，也挖掘了細節的內涵，研究了教材的本質。

三、教學思考

本課探索了正切函數的圖象與性質，將知識、方法和能力融合為“三位一體”的性質研究教學，突顯探究教學的開放性。教師引導學生從函數性質形成過程、性質的探究過程中，用研究正弦函數的圖象性質類比，再利用數形結合思想，通常由數（性質）—形（圖象）—數（性質）來探索正切函數的圖象及其性質。師生共同構建函數圖象性質的研究過程，體驗了數學的重要思想和方法。在探究過程中，教師要把握性質的生成機會，如何把握？把握的程度如何？筆者結合自己多年的教學實踐，形成了如下認識：

1.研究教材細節，透過現象看本質。創設認知情境，并對已給的教材進行適當整合，并且類比正弦函數與余弦函數的圖象與性質的研究。在研究正切函數圖象與性質類比中發現，正切函數的研究順序卻恰恰相反，教材是從一個新的角度來研究正切函數的性質，因此在課堂上設計了讓學生先小組分別畫圖的環節，使學生在教學的疑惑中，思考要解決問題的方法，這樣本節課的研究思路就自然展開。

2.教學中將探索性質的探究方法作為鋪墊。教師引導學生作圖，立即引起師生共鳴。通過這種方式，研究代數方法的性質，正切函數的圖象與正弦曲線類似，然后通過觀察圖象來驗證性質，并且獲得了函數的對稱性，加深學生對代數形式的理解，并緊密聯系課堂研究的主線、引導的數量和形式的數量。

3.教師也應該為學生探究和挖掘教材的細節，吃透教材，得到函數圖象與性質研究結果，提供結果反思和驗證的空間，要讓學生對數學知識的生成提供反思和研究經驗，并進行適當的總結以及深刻的比較。在教學過程中，教師不能急于求得數學性質結果，而應盡可能讓學生有更充足的時間對數學概念形成“自然生長”。只有尊重教材，將教材的作用充分展現，并發揮到極致，才能體現教材的價值。

4.在準備這樣一堂課的過程中，筆者也花了很多時間，并且思考了很多問題，如：如何讓教師“教”得更多，同時讓每一位學生“學”得更多？教師問題引領、滲透教材與學生自主探究教材的“度”如何處理？如何處理“部分”和“整體”的關系與區別？學生只有會思考，掌握解題的技巧與方法，才能從題海中走出來，希望能得到各位同行的不吝指導。