切比雪夫不等式及其應用

魏汗宸

摘 要：切比雪夫不等式是概率論與數理統計中的一個重要公式，它不僅在定理證明上有著重要的作用，并且應用也非常廣泛。本文將先介紹有關隨機變量的理論知識，然后說明切比雪夫不等式在估計隨機變量取值概率上的應用，運用其證明切比雪夫不等式大數定理。

關鍵詞：切比雪夫不等式 估值 大數定律

一、基礎理論知識

隨機變量：

設 為定義在樣本空間 上的實值函數，則稱 為隨變量。若它僅取有限個或可列個值，則稱其為離散型隨機變量。若它的可能取值充滿數軸上的一個區間 ，則稱其為連續性隨機變量。[1]

分布函數：

設 為隨機變量，對任意實數 ，稱：

為隨機變量 的分布函數。記為： 。

數學期望：

設離散型隨機變量 的分布列為 如果： ，則稱： 為離散型隨機變量 的數學期望。

設連續型隨機變量 的密度函數為 ，如果： ，則稱：

為連續性隨機變量 的數學期望。[2]

數學期望的性質：

對任意常數 ， 。

對任常數 ， .

對任意兩個函數 ，

有 .

方差：

若隨機變量 的數學期望 存在，則稱偏差平方 的數學期望為隨機變量 的方差，記為 .[3]

對任意常數 ，

對任意常數

切比雪夫不等式：

設隨機變量 的數學期望和方差存在，

則對任意常數 有：

證明：

依概率收斂：

設 為一隨機變量序列， 為一隨機變量，如果對任意 ，有：

則稱序列 依概率收斂于 。

聯合分布函數：

對任意 個隨機變量 ，以及任意 個實數 ，記 同時發生的概率：

稱 為 維隨機變量 的聯合分布函數。

隨機變量間的獨立性：

設維隨機變量 的聯合分布函數為 ， 為 的分布函數，若對任意 個實數 ，有：

則稱 相互獨立。

二、切比雪夫不等式的應用

例1：設隨機變量 的方差存在，且 ，求 。

證明：

由于 的方差存在，則其期望也存在，設 的期望為 ，

由于：

，

則：

從而：

于是可得：

從而可得到 幾乎處處為常數 。

例2 ：在 次獨立重復拋擲硬幣中，記拋得正面為成功，要使“拋擲成功的頻率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，問至少要進行多少次拋擲？

解：記 表示第i次拋擲硬幣成功， 表示第i次拋擲硬幣失敗

則：

表示n次獨立重復拋擲硬幣中拋擲成功的次數，且由期望和方差的性質可得：

要使“拋擲成功的頻率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，即：

從而可得至少要進行250次拋擲。

例3：設 為相互獨立的隨機變量序列，每個隨機變量的方差存在，且存在共同的上界 。

即滿足： .證明隨機變量序列 依概率收斂于 .

證明：由于 相互獨立，從而有：

由切比雪夫不等式可得：

從而可得到：

隨機變量序列 依概率收斂于 .

結語

由上只是簡單舉例分析了切比雪夫不等式在證明常數方差為零，估值，依概率收斂上的應用，除了這些，切比雪夫不等式在證明馬爾科夫不等式上也有相應的應用。這里不再贅述。

參考文獻

[1]茆詩松.概率論與數理統計簡明教程[M].高等教育出版社，2012.

[2]李念偉.切比雪夫不等式的應用[J].科技創新導報，2013（31）：217-217.

[3]霍玉洪.切比雪夫不等式及其應用[J].長春工業大學學報，2012，33（6）：712-714.