三等份線段的尺規作圖

李明桂

摘 要：三等分線段尺規作圖是中學數學中尺規作圖的三個不能之一，對這個命題的成立性有點懷疑，能否從構造線段的三分之一長線段來解決這個問題，通過研究對應線段成比例兩直線平行，平行線分線段成比例定理構建線段的三分之一，分構造點在線段的上方、構造點在線段端點的正上方、構造點在線段的反向延長線三種情況，解決一般性的問題，從而解決這個數學難題。此作法可推廣任意等分線段。巧妙利用三角形的重心分中線為上二下一的特性，找出線段的三等分點，解決線段三等分的難題。

關鍵詞：三等分線段 尺規作圖 任意等分線段

研究成果報告：

1.在尺規作圖中，有三個尺規不能的問題——三等份線段、三等份圓弧、三等份角。在學習的初期，對此結論深信不疑。但在隨后的教學中，發現這個結論存在疑問。在學習了平行線分線段成比例和對應線段成比例兩直線平行后，發現可以從尋找線段的三分之一長來解決這個問題，這種方法是三等份線段尺規作圖的一般作法。

2.在學習了三角形的重心的性質后，發現三等份線段尺規作圖的簡潔作法，這種方法是三等份線段尺規作圖的特殊作法。

3.三等份線段尺規作圖的一般作法可以推廣到任意等份線段的尺規作圖。

4.此項研究的意義在于對數學觀點的質疑，推動數學的發展。

研究成果內容：

在數學教學中，對尺規作圖平分線段、平分已知角、直線的垂線進行了詳細的解析，并提出尺規作圖不能三等份線段的觀點，多年來一直對此表示懷疑。在對平行線分線段成比例和對應線段成比例兩直線平行研究后，思考能否采用尋找線段的三分之一的方法解決等份問題。

研究一：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，﹙輔助線與線段成銳角﹚圖示1

①以線段AB 的端點A為頂點作射線AC；②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N為圓心，AN為半徑作圓交線段AB所在的直線于M點；④在線段MN上分別截取MC1=C1C2=C2N=AA1；⑤連結A2C2、NB，兩線段所在的直線交于P點；⑥以A2P的長為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點；⑦點D、E就是線段AB的三等份點。

研究二：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，﹙輔助線與線段成直角﹚圖示2

①作線段AB的垂線AC；②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③過A1、A2依次作射線AC的垂線A1M、A2P；④連結NB，分別交直線A1M、A2P于C1、C2點；⑤以A2C2為半徑，分別以A、B為圓心作圓，交線段AB于D、E兩點；⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

研究三：已知線段AB，求作線段AB的三等份點﹙輔助線與線段成鈍角﹚圖示3

①以線段AB 的端點A 為端點作射線AN；②作射線AN 上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N 為圓心AN 的長為半徑作圓交線段AB的反向延長線于M 點；④分別以M、N為圓心AA1的長為半徑作圓交線段MN于C1、C2點，連結A2C2、NB，設兩直線交于P點；⑤分別以A、B 為圓心A2P的長為半徑作圓交線段AB于D、E兩點；⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

通過上述的研究表明，只要所作的射線和已知直線不在同一條直線上，都可以對線段進行三等份，這種方法可推廣求已知線段的任意等份點。

研究四：已知線段AB，求作線段AB的三等份點，圖示4

①過A點任意作一條直線l，（和直線AB不重合）；②在直線l上截取AP=AQ；③連結BQ、BP；④作線段BP 的中點M；⑤連結QM交線段AB于點D；⑥以B為圓心，AD的長為半徑作圓交線段AB于點E；

⑦D、E就是線段AB的三等份點。

這種作法是利用三角形的重心的特殊性質對已知線段進行三等份點。