關于理想變壓器問題的探討

寇大武

摘 要：《變壓器》是高中物理選修3-2中第二章第六節的內容，在教學中學生會提出一些高中教師比較難以回答的問題：變壓器的輸入電壓到底是由線圈匝數決定還是由原線圈所接入的電源電壓決定；變壓器的輸出功率決定輸入功率，是否是我們需要多少功率就能得到多少功率；電流為輸出電流決定輸入電流，如果負載不接任何用電器，即輸出電流為0的時候，輸入電流應該也為0，在這種情況下，變壓器是否就不能工作，此時的輸出電壓是否也就應該為0。筆者通過查閱資料將從三個方面解釋此類問題：（1）變壓器原、副線圈的電壓、電流關系；（2）對理想變壓器輸入和輸出功率的理解；（3）對空載時輸入電流的理解。

關鍵詞：理想變壓器；磁通量；磁通量的變化率

一、變壓器原、副線圈的電壓、電流關系

對于這個問題很多老師認為：因為變壓器的功率是輸出決定輸入的，既然功率為輸出決定輸入，由公式P=UI可得：

這里有幾個問題值得思考：

第一，變壓器的輸入電壓到底是由線圈匝數決定還是由原線圈所接入的電源電壓決定；

第二，I1U1一定等于I2U2嗎？

第三，既然變壓器的輸出功率決定輸入功率，是否是我們需要多少功率就能得到多少功率；

第四，既然電流為輸出電流決定輸入電流，如果負載不接任何用電器，即輸出電流為0的時候，輸入電流應該也為0，在這種情況下，變壓器是否就不能工作，此時的輸出電壓是否也就應該為0。

二、對理想變器電壓關系的理解

對高中生來講也可以這樣簡單推導：設變壓器的輸入電壓為U1，原線圈匝數為n1，原線圈電動勢為E1，內阻為r1，變壓器輸出電壓為U2原線圈匝數為n2，副線圈電動勢為E2內電阻為r2，則由閉合電路歐姆定律有：

U1=E1+I1r1 E2=U1+I2r2 其中E1=n1ΔΦΔt E2=n2ΔΦΔt

對理想變壓器r1=0，r2=0，Φ1=Φ2，故有=U1U2=n1n2

前述推導電流電壓，電動勢用的是有效值，這個推導是不合適的，實際推導必須用瞬時值，還要考慮到相位差都不能提，其涉及到較為復雜的數學方法，在此不再贅述，不過對理想變壓器而言，U1=E1，E2=U1還是成立的，前述推導，對高中學生而言，是有助于理解變壓器的原理的。

通過查閱資料，在《電工學》中，筆者發現了磁路及其分析方法，如下：由于鐵心的磁導率比周圍空氣或者其他物質的磁導率高得多，因此鐵心線圈中的電流產生的磁通量絕大部分都會通過鐵心而閉合，這部分磁通量稱為主磁通，用字母Φ表示，此外很少的一部分磁通主要通過空氣或者其他非導磁媒介而閉合，這部分磁通稱為漏磁通，用字母Φ0表示，這兩個磁通量在線圈中都產生了感應電動勢，其中主磁電動勢e，漏磁通產生的感應電動勢為e0，在原線圈上電壓和電流的關系可以通過基爾霍夫定律得出關系：即

U1+e+e0=Ri或

U1=-e+（-e0）+Ri=-e+Ldidt+Ri

其中，主磁通Φ=Φmsinωt則

e=-ndΦdt=-ndΦmsinωtdt=-nΦmωcosωt

=-nΦm×2πfcosωt=nΦm×2πfsin（ωt-90°）

其中Em=nΦm×2πf，是主磁電動勢e的最大值，而其有效值則為

E=Em2=4.44fnΦm

通常由于線圈的電阻和感抗一般很小，因而其分得的電壓也很小，與主磁感應電動勢e比起來很小，故

U1≈-e≈-4.44fnΦm

從以上的推導，我們可以看出電源電壓是等于主磁通產生的感應電動勢，輸入電壓發生了變化，則變壓器的輸入電壓也相應發生變化，只是存在著相位的不同步。

電流關系，當電源電壓U1和頻率f不變的時候，E1和Φm是接近常數的，也就是說，鐵心中主磁通的最大值在變壓器空載和有負載的時候是差不多的，故有負載時原線圈產生的磁通量和副線圈產生的磁通量和空載時原線圈產生的磁通量差不多，即：

n1i1+n2i2=n0i0

i0的作用是勵磁電流，由于鐵心的磁導率極高，空載電流是很小的，因此n0i0是可以接近忽略的，因此得出∶n1n2=i2i1

從以上的推導我們可以得出，即使在空載的情況下，變壓器中仍然是有電流的，只是電流很小，這個電流是用來勵磁的。也就解釋了當負載為0的時候，變壓器的原線圈副線圈仍然存在電壓，也就確定了功率關系，即理想變壓器輸入功率等于輸出功率。

高中習題中，關于變壓器的動態分析中有此題.為探究理想變壓器原、副線圈電壓、電流的關系，將原線圈接到電壓有效值不變的正弦交流電源上，副線圈連接相同的燈泡L1、L2，電路中分別接了理想變流電壓表V1、V2和理想交流電流表A1、A2，導線電阻不計，如圖所示.當開關S閉合后（ ）

A.A1示數變大，A1與A2示數的比值不變

B.A1示數變大，A1與A2示數的比值變大

C.V2示數變小，V1與V2示數的比值變大

D.V2示數不變，V1與V2示數的比值不變

正確答案為AD，高中生一般認為的結果是，改變負載L2，不能改變輸入電壓，由于輸入電壓U1不變，匝數比值不變，則根據n1n2=U1U2，則輸出電壓U2不變，所以D正確，而改變L2，使L2電路中電阻減小，故A2減小，A1也減小。

在這里，我們應該意識到，輸入電壓U1不變的原因是：在理想變壓器中，電源的輸出電壓等于變壓器的輸入電壓，由于電源電壓沒有發生變化，所以變壓器的輸出電壓沒有發生變化。由于變壓器的輸出電壓沒有發生變化，所以輸出電壓U2也沒有發生變化，又因為L2中電阻變小，所以電流變大，雖然電路中除了I1和I2的電流，但是也存在勵磁電流I0，由于是理想變壓器，勵磁電流I0可以忽略，仍然滿足n1n2=i2i1，所以電流A1示數變大，A1與A2示數的比值不變。

三、對理想變壓器輸入和輸出功率的理解

當副線圈回路有負載時，設副線圈電流為I2，則原線圈中會產生一個“反射電流”I‘1，I‘1與I2滿足I‘1I2=n2n1，但是原先充的電流并不是I‘1，而是I1=I0“+”I‘1，其中“+”表示I0和I‘1包含含了相位差的相加，對理想變壓器有I0≈0，故有I1I2=n2n1，當副線圈回路電流和電壓相位差Φ時，副線圈輸入功率為P-2=I2U2cosΦ，對理想變壓器而言U1與U2相位差為π，因此，原線圈輸入功率P-1=I1U1cosΦ。可見，I1U1=I2U2是成立的，當副線圈回路負載是純電阻，Φ=0，故意P-1=I1U1，P-2=I2U2，高中階段處理副線圈回路，一般是純電阻電路，因此高中階段直接認為P-1=I1U1，P-2=I2U2，I1U1=I2U2。

例如，如圖所示的交流電路中，理想變壓器輸入電壓為U1，輸入功率為P1，輸出功率為P2，各交流電表均為理想電表。當滑動變阻器R的滑動頭向下移動時（ ）

A.燈L變亮

B.各個電表讀數均變大

C.因為U1不變，所以P1不變

D.P1變大，且始終有P1=P2

此題應該選擇D選項，因為U2不變，由公式P2=U22R，所以P2變大，又因為P1=P2，則P1也應該變大。

此處，我們可以關注，當副線圈回路電流和電壓相位差Φ時，副線圈輸入功率為P-2=I2U2cosΦ，對理想變壓器而言U1與U2相位差為π，因此，原線圈輸入功率P-1=I1U1cosΦ。可見，I1U1=I2U2是成立的，當副線圈回路負載是純電阻，Φ=0，故意P-1=I1U1，P-2=I2U2，所以仍然滿足我們的一般認識。

四、對空載時輸入電流的理解

很多學生問一個問題，當副線圈回路空載（R=∞）時，由I2=U2R得I2=0，I1U1=I2U2可知I1=0，原線圈電流為零，變壓器中磁通量為0且不變，變壓器怎么可能會有輸出電壓呢？

其實，就是因為不知道功率因素和電感對交流電路的影響導致的，當副線圈回路空載（R=∞）時，原圈是一個純電感，它將導致電壓比電流相位超前π2，由P-=IUcosΦ，可知輸入功率P-=0，另一方面，由于理想變壓器原線圈自感系數L1很大，其感抗XLl=2πfL1很大，由I0=UXL1可知，此時原線圈中電流很小，但并不為0。

參考文獻：

[1]秦曾煌.電工學[M].高等教育出版社，2008.

[2]陳熙謀，吳祖仁.物理選修3-2[M].教育科學出版社，2017.