初步探討決定鉛球最大射程的因素

郭竹文

摘 要：在忽略空氣阻力的情況下，運動員以一定的初速度將鉛球拋出，鉛球的射程會隨拋射角的不同而不同，那么拋射角取多大時鉛球的射程才最遠呢？運動員在實際操作中如何保證這個最佳拋射角呢？為探討上述兩個問題，本文做以下兩個方面的簡化處理：1.鉛球出手后，視為斜拋運動2.對投擲鉛球力學分析時，投擲力近似等于合力。

關鍵詞：射程 最佳拋射角 簡化處理

一、理論分析

（一）鉛球做斜拋運動分析

運動員投擲鉛球如圖甲所示。設鉛球初速度大小為V0 ，拋射角為α，末速度V與水平方向夾角為β，速度變化量為ΔV ，運動時間為t ，射程為x 。由斜拋運動特點可知ΔV=gt ，且ΔV的方向豎直向下。作出V0 、V 、ΔV矢量三角形如圖乙所示 。

由矢量三角形面積相等，有 ①

鉛球運動過程中機械能守恒，有： ②

鉛球做斜拋運動，水平方向有： ③

聯立①②③得

由上式可以看出，當（α+β）=900即V0與V垂直時，射程x最大，鉛球的最大射程為 ，最佳拋射角滿足： ④

（二）鉛球投擲過程中的力學分析

在投擲鉛球過程中，鉛球受到重力mg及人對鉛球的投擲力F共同作用，合力為F合 ，合力的方向就是初速度V0的方向，與人的手臂在同一直線上，如圖丙所示。設人手臂長度為L，由動能定理得：F合L= ，由此可以求出鉛球初速度 。由于F合與投擲力F、重力mg及α角有關，需要經過繁瑣的數學運算，現做近似處理 ，故有 ⑤，將⑤式代入④式得：

⑥

二、相關討論

（一）對最佳拋射角的討論

1.當拋射點高度h忽略不計時（即h=0），由④式可得tgα=1，由于 ，此時最佳拋射角α=450，最遠射程為 。

2.當拋射點高度h不能忽略時，射程最遠的條件是 ，此時tgα< 1 ，即α< 450，此時最佳拋射角α小于45度，最遠射程為 ，且h越大，射程取得最大值對應的α角越小。

（二）運動員在實際操作中如何保證最佳拋射角的討論

由于⑥式中F為運動員的最大推力， mg為鉛球的重力，L為運動員手臂的長度，h是鉛球投擲點高度，以上各量的大小都可以測量出來。設F為mg的a倍，h為L的b倍，則F=amg ，h=bL，則⑥式可以化簡為 ⑦

由⑦式可以看出，只要測量出某運動員的系數a、b，就可以很方便地求出該運動員最佳拋射角α的具體數值。

參考文獻

[1]蔡志東.鉛球最佳投擲角的精確方程及數值解[J].大學物理，2005，24（8）.

[2]代利琴.鉛球投擲角和最大成績的函數關系[J].重慶大學學報，2002，25（4）.

[3]龔勁濤，吳英.兩種求鉛球最佳出手角的方法比較[J].物理與工程，2011，21（3）.