例談冪級數(shù)及其和函數(shù)的幾種應(yīng)用

沈柳平 楊繼昌

摘要：冪級數(shù)展開式以及它的和函數(shù)是高等數(shù)學(xué)理論體系和實踐聯(lián)系非常緊密的內(nèi)容之一。為了能更清晰地認(rèn)識冪級數(shù)的形式及其和函數(shù)的一些用途，本文根據(jù)冪級數(shù)的特有形式及其和函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)前很多對冪級數(shù)理論的相關(guān)研究，用實例闡述和歸納了它們在表示函數(shù)、常數(shù)項級數(shù)求和、極限計算、解微分方程等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù)；和函數(shù)；應(yīng)用

無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一項重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)理論研究、工程實際應(yīng)用和市場經(jīng)濟(jì)分析等方面起著舉足輕重的作用。無窮級數(shù)的主要內(nèi)容有常數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)和傅利葉級數(shù)等，其中冪級數(shù)以及冪級數(shù)求和是教學(xué)中的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。因為冪級數(shù)的各項都是冪函數(shù)，它可以形象地被看作是按自變量升冪排列的“無窮次多項式”。另外，冪級數(shù)的和函數(shù)有很重要的連續(xù)、可微、可積等分析性質(zhì)，并且它總可以用冪級數(shù)的部分和近似代替后仍可達(dá)到較高精度。對學(xué)生而言，在高等數(shù)學(xué)中接觸到的逐項求導(dǎo)法和逐項求積法求冪級數(shù)的和函數(shù)確實有些困難。目前，已有很多文獻(xiàn)研究冪級數(shù)的求和方法正好可以解學(xué)生的燃眉之急。本文著重列舉一些關(guān)于冪級數(shù)及其和函數(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步意識到冪級數(shù)可以學(xué)以致用以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，同時也為讀者后續(xù)的討論和研究拋磚引玉。

5 結(jié)束語

關(guān)于冪級數(shù)及其和函數(shù)的應(yīng)用絕對不止上述幾種，它們還可以用于近似計算、定積分的計算，等等，在此不作完備歸納。但是對于冪級數(shù)及其和函數(shù)的研究是永無止境的，如果高校師生能夠參與這些研究，對教師教學(xué)重點的把控和教學(xué)科研水平的提高、對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的提高等都大有裨益。

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第一作者簡介：

沈柳平（1968-），女，廣西融安人，副教授，研究方向：微分方程。