運用“草圖”輔助理解數學核心問題的策略

張友峰

[摘 要]

在數學教學中，經常會碰到核心問題難于突破的情況，學生的學習經常停留于問題的淺表層面，不能進一步深入。結合“草圖”運用的教學實例，闡述數學深度學習方面的實踐嘗試：直觀理解數量之間的關系，探究數學概念的內在本質，突破方法指導上的難關，形成系統的知識體系。“草圖”能夠直觀呈現學生的思維過程，明了知識之間的內在聯系，把握內涵特征，讓學生的學習進一步走向深刻。

[關鍵詞]

小學數學；草圖；核心問題；理解

筆者在一次市級教研活動中，有一個數學集體備課展示環節令人印象深刻，備課組老師圍繞蘇教版五年級“多邊形面積”單元教學中存在的困惑進行了集中研討，學生對于平行四邊形和三角形的面積、底和高三者關系很難弄清楚，等底等高的情況下三角形和平行四邊形面積有什么關系？等面積等底呢？等面積等高呢？這是本單元教學的一個核心問題，現場有老師推薦了很多教學方法，如：可以用假設法的策略試一試，或者可以讓學生把三者關系熟記，可以快速解決問題，但總感覺這樣的教學可能欠缺了一些思維的深度。

回歸本源，為什么學生容易混淆這三者的關系呢？從低年級的具體情境問題到高年級的抽象推理問題，對于學生的空間想象能力提出了更高的要求，也許我們高估了孩子的現實起點，很大一部分學生還不具備解決該問題所需的抽象思維能力。理解抽象問題的最佳方式就是圖形直觀，蘇教版教材在解決問題策略教學中，安排了畫示意圖和線段圖的內容，培養學生運用策略解決實際問題的能力。但在整個數學教學中，畫圖策略的作用和價值不能僅僅局限在問題解決版塊。在教學實踐中，筆者認識到：要讓學生深刻理解數學核心問題的實質，必須深入內在挖內涵，理解必須走向深刻。因此，筆者積極開展“草圖”研究，鼓勵學生運用個性化的“草圖”把思維的過程呈現出來。

一、以圖促思——發現數量背后的關系

波利亞說：抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著。在教學過程中，學生對于很多數學知識的理解是模棱兩可的。在圖形與幾何領域，經常會碰到許多圖形關系的核心問題，實物或課件演示是不錯的方法，但是這種直觀呈現方式經常留于表面，許多學生僅僅停留在淺表層面，思維不夠深入的直接后果就是在實際解題時張冠李戴，數量錯配。

例如，上面的例子中，學生經常會碰到的問題是：一個三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四邊形的面積是多少平方分米？一個三角形的面積是48平方分米，與它等底等高的平行四邊形的面積是多少平方分米？如果僅僅停留在關系的簡單記憶或者湊數字假設解決的程度，相信在今后向更高層次學習時，理解偏差會進一步暴露出來，對學生的深度學習和長期學習是不利的。如果像下面這樣畫“草圖”處理的話，學生對于面積、底和高三者之間的關系可以認識得更加清晰，畫下來的“草圖”可以幫助學生實現“抽象——直觀——再抽象”，一旦再次抽象成功，今后這類問題學生甚至可能在頭腦中畫出“草圖”，對于學生空間觀念的培養非常有價值。

又如，在蘇教版五年級下冊“分數意義和性質”單元中，學生經常會碰到這樣的困惑：把2米長的繩子平均分成5段，每段占全長的幾分之幾？每段的長是幾分之幾米？分率需要用單位“1”除以份數，具體量需要用2米除以份數，這是單元教學的一個核心問題，如果僅僅停留在這種方法指導上是不夠的，學生的理解也是不夠深刻的。筆者讓學生展開自己的思維，在草稿紙上畫一畫“草圖”，表示這兩種不同的分法，學生的思維豁然開朗。

在數學學習中，很多重要的概念都具有“雙重性”，既有數的特性，也有形的特性，只有從多維度去認識它們，才可以更好地理解它們的本質意義。運用“草圖”的力量，從不同的角度去思考問題，能夠幫助學生透過現象看本質，把分數意義的理解直觀化。數學家華羅庚說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”“草圖”能夠幫助學生突破語言描述的不足，深入理解代數的抽象性，也能夠幫助學生分析數量關系，可以巧妙化解教學的難點。

二、以圖明理——探索概念內在的特征

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。引入概念的方式有多重，如直接觀察、計算呈現、推理證明、作圖發現等。根據概念的抽象水平，我們可以把概念分為定義性概念和描述性概念。概念教學的關鍵是要幫助學生揭示其內涵和外延，了解概念的特點，明確不同概念間的關系，構建數學知識體系。

例如，蘇教版五年級下冊“最大公因數”和“最小公倍數”概念是這樣呈現的：8和12的公因數有1，2，4，其中最大的是4，4就是8和12的最大公因數；6和9的公倍數有18，36，54，……其中最小的是18，18就是6和9的最小公倍數。這是典型的描述性概念，從概念文本上理解還是比較容易的，通過練習學生的掌握情況較好。但是，一旦碰到具體的解決問題，學生的各類混淆性錯誤就暴露出來了。

問題1：把長36厘米，寬24厘米的長方形，平均分成若干個大小相同的正方形（邊長為整厘米），最少可以分多少個？

問題2：把若干個長3厘米，寬2厘米的長方形拼成一個正方形，至少需要多少個？

像這樣的核心問題，學生常見的錯誤有：一是混淆最大公因數和最小公倍數兩種概念；二是混淆邊長和個數之間的區別。錯誤暴露出學生對于概念本質理解的不足，簡單地模仿練習并不能從根本上理解概念內涵。如果借助“草圖”畫一畫，把思考的過程呈現出來，可能就會達到事半功倍的效果。

“窮舉法”對于培養人的思維縝密性具有無可替代的價值，在蘇教版五年級上冊“一一列舉”策略教學中，這一策略概念的引入環節，安排學生進行握手游戲：請四位同學分別表示1～4號，互相握手，共有幾種握法？在獨立嘗試中，學生可以較好完成，但是如何滲透有序列舉這種思想？光靠學生的語言表達和實踐操作，策略的意識可能僅僅停留在直觀表象中，如何抽象表征呢？通過畫一畫“草圖”可以尋找多種方式，幫助學生進行有序思考，養成全面思考的習慣。

有了這樣的思考過程的展現，學生不僅能夠根據已知條件，有序、不遺漏地找出所有可能情況，而且在問題解決的過程中還滲透了方法的多樣性，感悟了“列舉”策略的價值。在核心概念突破時，“草圖”可以鍛煉學生的思維能力，積累數學活動經驗，感悟相關的數學思想方法。

三、以圖破題——尋找方法指導的良藥

數學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中說到：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。”在數與代數領域，由于小學生的年齡特點和認知規律，數學抽象推理能力還比較薄弱，為了對學生進行更好的方法指導，需要在分析問題角度做大膽嘗試。“草圖”就是一個效果非常好的破題工具，可以成為方法指導層面的一味良藥。

例如，在蘇教版五年級下冊“假分數化成帶分數”一課中，教學嘗試把假分數化成帶分數時，很多學生想到運用分數單位的知識進行轉化，但是轉化過程中錯誤情況還是經常出現。學生容易把整數部分和分子弄混淆，計算還停留在算法層面，通過畫“草圖”對方法進行指導和糾正，進一步理解算理，問題就引刃而解。有學生畫出了“大餅”圖，也有學生想到用數軸圖來轉化，甚至還有學生想到用豎式圖來表示方法，非常直觀清晰。在幾何直觀訓練基礎上，學生的抽象表征能力得到提升，后期就不在需要畫圖了。

又如，在蘇教版五年級上冊“小數大小比較”教學中，學生在復雜易混小數的大小比較時，錯誤率非常高，原因有審題錯誤，也有方法掌握不到位等。部分學生再做類似的題目，仍然會錯，這可能就歸結為解題好習慣的缺失。“小數大小的比較”是在“整數大小比較”基礎上進行教學的，與整數大小比較在方法相似，都是從高位開始比較，比較相同數位上的數字，但是由于小數點的干擾，學生的讀題準確率不如整數。如果能幫助學生在方法層面加強指導，用“草圖”形式培養思維的有序性，運用小數大小比較的方法，輕松就可以找到正確的答案。

問題：把小數從大到小排列，0.67，6.7，6.07，60.7，0.067，0.607，0.672。

通過畫“草圖”，依次排列所有的小數，再根據小數大小比較的方法，有序找出最大的小數，標上序號，最后根據題目要求，由序號依次從大到小排列，這樣一道信息量比較大的問題就迅速得到解決。小數大小比較也是小數學習中的一個核心問題，通過以上的方法指導，可以快速破題，準確、高效、有序地比較小數的大小。

四、以圖聯結——構建知識體系的紐帶

思維導圖又稱作心智導圖，是表達發散性思維的有效工具，非常簡單卻又非常有效。在數學學習中它的優點不言而喻，可以構建知識體系中各種量之間的關聯，具有形象化和簡潔化的特點。小學高年級階段，我們經常在“圖形與幾何”應用導圖來整理知識體系，如多邊形面積公式的推導、立體圖形表面積體積的推導等。其實在“數與代數”領域也不乏有效的嘗試，通過“草圖”化的形式，讓學生產生發散性思維，突破核心問題，建構知識體系。

比如，在蘇教版五年級下冊“公因數和公倍數”知識體系建構中，讓學生根據之前學習的公因數和公倍數的有關知識，根據數與數之間不同關系的分類，獨立嘗試梳理思維導圖。學生通過合作整理，全班交流等形式，形成了一份“公因數和公倍數”判斷方法結構圖。

相比枯燥的結論，抽象的判斷，這樣直觀的“草圖”學生非常樂于接受，通過看圖，學生能夠在頭腦中建構“公因數和公倍數”的知識體系，明確知識點的來龍去脈，了解數學的美妙，激發學生的數學探究興趣。

又如，在四年級下冊“行程問題”學習中，學生對于同向而行、相向而行和背向而行概念模糊，實際問題中的環形跑道問題也會涉及到以上三種情況。在信息整理中要區分多種情況：一是要提高審題能力，二是要進行圖形表征。通過讓學生畫一畫“草圖”，用集體的力量整理不同“行程問題”的條件，并用簡潔的符號表示，逐步形成一張完美的“行程問題”結構圖。

上圖中，通過集思廣益，發揮學生的創造力，教師適當地引導修正，凸顯了三種情況的不同之處。在環形跑道問題中又把“相向而行”和“背向而行”聯系起來，其實兩者在跑道上是同一種跑法，在追趕超過一圈問題中，學生這樣的表示方式讓人記憶猶新，眼前一亮。充分發揮“草圖”的優勢，直觀、系統、全面地呈現核心問題的特點，構建數學知識體系，引導和啟發學生高效解決問題，有效培養學生的自主學習能力。

核心問題是一節課或者一個單元中最重要的問題，可以是一個或多個，是學生思考的重中之重，也是教學難點的集中點。這樣的問題往往是整個知識體系的發散點，具備很強的思維深度，一旦突破它，學生的數學思維能力可以得到較大的提升。畫好這樣的“草圖”，用好這樣的“草圖”，可以幫助我們直觀理解數量之間的關系，探究數學概念的內在本質，突破方法指導上的難關，形成全面的數學知識體系，推動數學思維由淺表走向深刻，讓學生的數學學習之路變得更加有趣而高效。

[參 考 文 獻]

[1]王永春.小學數學思想方法解讀及教學案例[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

[2]鄭毓信.數學思維與小學數學[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

[3]史寧中.小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

（責任編輯：李雪虹）