小學生數學“運算能力”存在的問題與改進策略

[摘 要]

計算作為小學階段數學學習的重要內容，其核心在于提升“運算能力”，同步實現數學思維的發展。教學中教師可以有意識地從動作技能的形成方式入手，通過對運算過程的體悟與反思、算理理解的探究與建模、算法分析的解構與遷移，從而幫助學生在具體問題中提升自主認識，在形成“運算能力”主體建構中的挖掘數學思維，提升學科核心素養。

[關鍵詞]

小學數學；運算能力；數感；算理；算法構造；策略

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，人們越來越關注學生核心素養的培養。就小學數學學科而言，一線教師更習慣傾向于通過“綜合應用數學知識解決簡單的實際問題[1]”的途徑加以實施，采用能較“明顯地”體現數學思維的內容組織教學。其實，小學階段每個內容均承載著學生思維發展的目標，《義務教育數學課程標準（2011）版》中，將“運算能力”定位于義務教育階段學生數學發展的核心概念，具體表述為：“運算能力是指能夠根據法則和運算律正確進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！薄镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017版）》[2]中，將“數學運算”定位為高中階段學生數學學科核心素養，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。

正確理解并發展小學生的“運算能力”，有助于通過運算促進學生數學思維發展，解決實際問題。因此，合理把握小學生“運算能力”培育的一般路徑與策略，處理好算理與算法的關系，提升學生運算的準確性、合理性與靈活性，是需要進一步思考與實踐的問題。

一、運算能力：小學生數學的關鍵能力

運算能力是小學生數學能力的核心要素，是數學學科獨有的能力，運算能力的形成對小學生整體數學能力的培養與提升起到了基石性的作用[3]。分析現行各版本小學數學教材中相關內容，主要包括整、小數的四則計算及混合運算，分數的四則計算及混合運算，以及運算律在計算中的應用，這部分內容的教學本身占了教材總體內容的25%以上，而且在解決問題的過程中都需要運用計算。小學數學試卷中，涉及計算內容的題目一般占85%以上[4]，運用“運算”考查學生的數學知識及素養形成，具有廣泛的實踐基礎。

相關研究中，對于“運算能力”的內涵厘定也逐步清晰。從內容上看，運算中算理的分析、數據的解讀、方法的選擇、算法的推理、過程的遷移等正體現了“數學技能就是從數學知識掌握到數學能力形成和發展的中間環節”[5]。其主要體現在解決問題、理解問題、掌握法則、探究思路、選擇算法等。從內涵架構上看，運算能力并非是一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合，是以數學認知、數學思想、個人發展三個維度融合架構形成[6]。從數學活動組織上看，“運算能力”包括運算、作圖和推理三種基本活動，“能算、會作圖和會推理”基本涵蓋了整個小學階段數學學習的內容。在小學階段占有較大比重的計算教學，從理解算理到算法建構，就體現著學生思維發展的軌跡。某種意義上“運算能力”（計算）的品質決定著小學生把握計算本質的內涵，豐富數學建模方式，形成一般數學的認識方法，它是形成后續數學認知及基本思想方法的基礎。

二、小學生“運算能力”的現狀觀察與分析

受傳統教學影響，對于“運算能力”的分析診斷往往局限于對運算技能達成度、速度的評價，較少關注不同數學內容中“運算”與“思維”的關聯應用，從而造成班級學生運算技能發展水平不一，會算不會思，只注重計算結果忽視數據體驗與分析的現實狀態，主要表現在以下幾方面。

（一）對數據的整體感知能力弱

由于過多關注計算的速度與正確率，練習形式單一，教師往往忽視了學生在具體問題中對“數據”的體驗，學生從整體上觀察數據、分析數據物征、選擇數據處理方式的能力較弱。比如，四年級混合運算中，學生能解決較“直觀”的第一步就能簡算的計算問題，但往往看不出第二步或第三步后可簡算的環節，數據觀察與分析的意識弱。學生對數據的局部、特定的顯性分析能力強于一般整體分析感知能力。歸其實質，是教師在計算教學中算的多、想的少；校對多，討論少，運算中較易形成相對機械的計算技能訓練。

（二）問題解決中根據需求靈活選擇計算的能力弱

當一個學生能正確地選擇合適的計算方法來合理、靈活地解決實際問題時，我們認為這個學生具備了良好的“運算能力”。而現實的情況中，學生更多地是以“具體明確要求”來指導自己的計算行為。尤其是面對不同情境下的具體問題時，筆算出精確值成為學生解決問題的唯一方式，忽視了估算、口算、用近似值表示等方法。這樣，運算能力的培養“精簡”成了豎式計算的“技能”，單一固化的技能培訓使學生思維發展淺層與弱化。

（三）計算結果合理性的判斷能力弱

學生計算出“一輛汽車的價格是10.868元”，分析這種問題的產生，淺層原因可能是由于數量單位的分析不到位，審題中出現錯誤。但其實更為關鍵的是學生對“數”的結果合理性認識不到位，缺乏對數據意義的數學認識，表現出對計算結果進行評價、診斷的“運算能力”弱，算與思、算與用相脫節。

（四）算理分析中數學思想方法的訴求弱

計算作為一種解決問題的基本能力，在會算甚至達到自動化的基礎上更需關注其運算背后所承載的思想方法。比如計算“×”學生會算，但“為什么分子相乘作分子，分母相乘作分母，算理是什么？”卻是許多學生忽視的關鍵。缺乏算理理解支撐的計算，將使有意義的“運算”走向機械的“計算”，這也是造成當下學生只會計算，不會通過計算分析數據，實現數形轉化，方法遷移的根本問題。

三、提升小學生“運算能力”的實踐改進

（一）注重“運算”過程的感悟與思考

“運算能力”的形成不是一蹴而就的，而是在多種途徑下對問題的深入思考逐步積累而形成的。這樣，對于“運算”目標達成，首先應定位于對“運算”過程的體驗，因為只有當學生面對具體的運算問題，在豐富的體驗分析中感悟，才能真正觸及對計算中的相關方法（算法、算理）的深入理解。

1.借助“數感”體驗，思考“數據”

“數”及“數感”是新課改以來十分關注的核心能力，運算中對數的理解與應用正是增強“數感”體驗的重要環節?！皵蹈小卑ā皩底株P系和數學模型的意識，以及應用這種意識靈活解決數字問題的能力，其核心是指計算策略中的靈活性和創造性，而非“沒有思維”的計算程序[7]。就“運算能力”的形成，教學中教師引導學生對計算數據進行分析與選擇，并在過程上針對數據“左顧右盼”與“瞻前顧后”，即不局限于結果的準確性，而更在于對得出結果中的思考過程的悟，比如根據數據特點選擇計算的最優化方式、進行算法的水平或垂直遷移、類比感悟一類問題的共性等。如此，教師要精選計算問題，選擇適合于學生多元思維的計算，引發學生對一類問題的思考，并在過程中逐步感悟其合理性。

2.著眼計算整體，感悟“方法”

感悟“方法”，其核心是選擇能提升高質量“運算能力”的載體。當學生對數據產生敏感，嘗試數據的合理化分析時，教師要實現過程主導，幫助學生由觀察思維向操作、推理思維發展。同時，注重計算問題的整體性分析，將單一結果運算，轉化為一類相關聯的“問題組”，學生可從多維度分析算理，形成多元、個性地算理解構與應用，幫助學生有效打開數學思維核心，實現經驗“創造”。這種“創造”一般是從問題整體切入的，可能是遷移形成，可能是“類比”形成，可能是“突發奇想”，但這種過程中的提煉，教師充分引領去思考其合理性，從而悟出“方法”。

比如計算[65×67-15÷76]，指導學生觀察算式，如何找到相同因數進行簡算。學生能發現“化除為乘”轉化為[65×67-15×67]使計算簡便。再提供：[47×35+37×15]指導學生觀察，分母都是7、5，有些相似，現在能否快速計算。此時學生大多比較迷茫，嘗試計算中發現結果是[37]，再指導觀察，能否轉化為相同因數呢。[47×35+37×15]=[37×45+37×15]=[37×（45+15）=37]。兩步的分析都從觀察因數入手，不斷幫助學生能從整體上分析數據的構造，提升計算的靈活性，積累“方法”的體驗。

3.辨析應用分析，體驗“過程”

過程感悟指不能僅停留于抽象的運算及數據，而是要引導學生結合現實數據，通過綜合的分析運算過程，實現數與數量關系、數與空間形式、數與抽象概念的融合，提升應用意識。使運算分析成為解釋現象的工具，成為交流、加工、解釋信息的量化方法。

比如“一個商店每天的營業額約5000元，那么一個月（按30天）計算，平均每月的營業額是多少元?！币晃粚W生的答案是15000元。教師引導學生觀察數據，“你能怎樣來進行檢驗？”

生1：我是通過計算檢驗的。先算5×3=15，再加4個0，也就是150000元。

生2：我是想3個5000元是15000元，那這個結果一定是錯的，因為一個月有30天。

生3：我覺得一個商店如果一個月的營業額只有15000元，早就關門了。

學生1是通過計算法則來分析，學生2是通過數據分析來解決的，而學生3具有現實的數據感知能力，通過意義來判斷。三種檢驗談不上好與壞，但從“運算能力”的角度分析，學生2與學生3的檢驗更體現出靈活“運算能力”中對抽象數學的應用價值。

（二）優化“算理”理解的探究與建模

理解“算理”是解構算法，形成“計算技能”，提升“運算能力”基礎與關鍵。算理的理解不等同于知道怎樣算，而是明理、會意、成型，知道“為什么”這樣算的過程。教學中，教師要立足整體，打破單一的知識點的教學設計方式，從平行式推進轉變成遞進式拓展，從而在課堂時空中，借助具體學習內容實現學生認知、能力、思維等方式的提升。

1.多元表征，從模型視角理解算理

算理的理解離不開對問題構造的數學模型抽象。教師對于計算中算理的分析，需要通過多種形式，打開學生的思路，借助學生已有認知經驗的遷移與再創造，幫助學生在頭腦中清晰過程，形成計算模型。這種幫助一般表現為設置一定的思維支架，算理的理解，不再僅是“教學”與“操作+思維”的簡單方式，而是適時引導學生在操作中發現問題、解決問題、激活思維、豐富經驗。例如，五年級轉化策略教學中典型的[12+14+18+116]的計算，教師如果只是針對題目“教”“數形結合”，讓學生看（簡單畫）圖后直接解決問題，此時的思維支架僅僅成為學生解題的一個特殊的外在方法。但如果教師能幫助學生觀察數據的特點（后一個數是前一個的2倍）、提供可供操作的圖形（正方形看作“1”）、組織議一議[12、14、18、116]的表示、啟發思考“是否可以換個角度來思考”……一系列的分析與操作的協同過程，必將引領學生對為什么需要“數形結合”，怎樣實現形與數的聯系等等解決問題方式的思考，最終形成認識上的飛躍，同步實現數學活動經驗不斷豐富與遞增。如果教師能更進一步啟發操作：“如果是[13+16+112+124]或[14+18+116+132]又可以怎樣操作分析呢？從中可以發現哪些規律？”帶著問題引領的操作分析將帶著學生走入更為理性與規律變化的數學世界，獲得不一樣的數學思維經驗。因此，從形象的計算，到抽象的算理解構，教師通過多樣化比較與呈現，可引導學生意識到算理的合理性、必要性與聯系性，啟發學生探尋實質，體會計算存在方式的合理邏輯。

2.同化順應，在意義聯接中理解算理

同概念形成的一般規律一致，“算法”的認識過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學生經歷對具體數學現象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成對操作規范的形象感知；同化階段學生經歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現象中的相似性，幫助學生對“算理”進行主體性構造分析，實現具體特殊原理向一般化的轉化。因此，教學中，教師要選擇具有典型特征的現象，啟發學生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學生對“算理”體驗與理解。比如小數乘法教學中，0.8（元/千克）×3（千克）就是通過買賣問題中“貨幣單位”的轉換獲得最初的直觀認識，進而結合“位值制”原則，啟發學生借助已有經驗進行分析，并在多個例證中的應用使學生對于整數乘小數的“算理”與整數乘法“算理”相通，明晰“轉化”原理，形成意義建構。

同時，教師需要不斷清晰學生算理理解的困難，即“小數乘整數的計算，從兒童心理接受、認知遷移層面等方面，明顯受到原有經驗的影響：小數點要上下對齊，乘出的結果要與原有結果相一致”。教師在引導問題解決，理解算理中，可有意識呈現新算法建立的數學背景，從而以形式入手再到算理分析，進而實現簡單算法建模，為后續學習提供思維方式的心理基礎。教師可圍繞問題引導學生反思過程：

①借助加法模型、經驗（口算）遷移，從形式上看出變化。（小數點點在哪里）

②借助現象解讀本質，引導學生去思考為什么小數點要點在這里。

③找尋理由，打通知識聯系進行簡單演繹推理，自主建構算法，明確算理。

事實上，通過上述三個方面的聯系，學生不光形成了小數乘整數的算法，對于小數乘小數的算法構造從整體上將有進一步的感知理解。

3.雙向溝通，借助橫縱比較理解算理

小學生數學知識、技能的習得與原理及數學經驗的積累是相互交織、循序漸進、螺旋上升的，學生運算能力形成也是如此。在相關“算理”理解的活動中，一方面要橫向溝通，注重激活學生已有的知識、經驗，并將新計算的“算理”理解與解析建立在與原有相關知識發生、發展與聯系的基礎之上，使得新舊知識得以在多角度、多側面共通，并在靈活應用這些知識過程中，理解新產生的“算理”，使得“算理”在學生認知結構中“扎根”。比如，口算是在“位值制概念”與運算意義的基礎上直接形成的“算理”認識與應用，筆算的“算理”則是由口算演化形成的“規范”過程，復雜筆算又是在簡單筆算基礎上延伸與發展的。而分數加減法算理來源于整數運算的類推，分數乘、除法的算理則來源于分數乘、除法意義。

另一方面，要注重縱向激活，注重為學生提供現實的應用場景，在基于經驗的運算中，借助多樣方式，理解算理。比如“二步混合運算”的教學，運算順序的算理理解就需要以解決問題的過程展開。教師提出“每本筆記本15元，每個書包20元，小軍買3本筆記本和1個書包，一共用去多少錢？”學生嘗試解決，教師收集資料。“5×3=15（元），15+20=35（元）”“5×3+20”

師：不同的列式解決過程，你能看懂嗎？

生：都先算3本筆記本的價錢，再加上1個書包的價錢，就是一共的價錢。

師：其實他們都是在算3本筆記本的價錢，再加上1個書包的價錢，就是一共的價錢。那它們之間有什么不同嗎？（貼移動板書：3本筆記本的價錢，1個書包的價錢）

師：像這樣用兩個算式的叫分步算式，而像他這樣合并成一個算式的，我們稱之為綜合算式。像這樣的綜合算式你該怎么計算呢？（板書：3×5+20=15+20=35元）

師：數學上還有另外一種書寫方式（移動數量關系的板書，先算3本筆記本的價錢“3×5”寫上=15+20，再加1個書包的價錢，=15+20=35），現在你能結合數量關系，理解遞等式運算的步驟嗎？請來說一說。

抽象的運算順序用直觀的數量關系呈現，幫助學生突破了認知難點，更為重要的是教師如果能在不同“算理”的認識節點激活相應的知識、經驗，通過橫縱向意義的聯系，就能使“算理”理解成為一個整體綜合的內循環過程。

（三）突出“算法”分析的解構與遷移

計算能力中包含著對算法的構造、設計、選擇[8]。因此，“算理”的理解與應用不能僅停留于“會算”的階段，按照算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果是計算的一個方面，更重要的，通過算法的構架與應用，提升運算能力。一般的，數運算教學中，要將“算理”與“算法”整體規劃，從而達到循“理”入“法”，以“理”馭“法”。其基本流程可描述為：

1.基于學情，促進“算法”的節點生成

算法是運算過程的程序性法則，就小學生而言，算法的認識與形成離不開生活中的過往經驗。因此引導學生從自我認知中去發現、解構算法，將有助于學生對具體問題的數學化思維發展?！爱惙帜阜謹导?、減法”教學中，教師把著力點放在基于數據體驗的算法認識，在對比選擇中合理選擇不同類型異分母分數加、減法的方法，提升對于“算”的認識。

教師呈現[25+38]。

師：你能獨立解決這個問題嗎？想一想，可以怎樣來計算，求出結果。教師巡視，收集學生資源：

第一種通分，將異分母分數化成同分母分數就可以解決問題[25+38=1640+1540=3140]。

第二種化成小數：[25+38]=0.4+0.375=0.775。

小結：同樣的一個計算問題，分析數據的特點，利用通分，化成同分母分數進行計算，也可以根據分數的特點，化成小數計算，從多種不同的思維路徑解決問題。

師：想想分別可以用哪些方法來解決？試著簡要地寫一寫。

[45+34] [34-13] [920-1950] [812-515]

學生進行分析并計算后，教師組織橫向比較：

師：為什么[34-13]都選擇通分？——無法化成有限小數

為什么[812-515]卻有多種通分方法？哪種更合理呢？

追問1：為什么這4個異分母計算，大家在方法應用上有差異？

追問2：通過上述計算，對你在計算上有什么啟示，有什么經驗可與同學分享？

小結：同樣是通分，還要根據數據的特點，選擇合適的方法。有時先約分后再通分能使計算簡便。

上述過程，教學沒有拘泥于“算法”建構，而是借助數學問題分析，突出了“結合數據特征，合理選擇算法”的運算能力培育。在“分析數據、選擇算法、比較優化”的多樣化問題情境下，師生的學習活動不斷深入，推動了學生數學思維的提升。

2.利用同化，促進“算法”的構造分析

同概念形成的一般規律一致，“算法”的解構過程也涉及形成與同化兩個方面。形成階段學生經歷對具體數學現象的觀察，對特定（特殊）問題進行分析，從而形成初步操作規范；同化階段學生經歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現象中的相似性，幫助學生對算法進行主體性構造分析，實現特殊向一般的轉化[9]。因此，教學中，教師要選擇具有典型特征的現象，啟發學生從多種角度（式、圖等）進行分析，借助豐富個案的溝通，幫助學生對“算法”進行自主解構。如《異分母分數加、減法》中對+算法的分析，往往老師會忽視主題圖的應用，對折演示實質對異分母“化異為同”算法的直觀化理解，指向于形成統一分數單位的初步直觀感悟。教學中，教師要能較充分展開“解讀”的過程，通過數與形的結合，幫助學生理解統一分數單位對計算的重要性，并隨之與整數、小數計算溝通，為后續“算理”深入理解提供認識基礎與構造遷移經驗。

小學生“運算能力”，其本質在于展現運算背后的數學思維品質，使學生經歷觀察、分析、推理、遷移的數學活動過程，同樣能促進學生在解決問題中的算理解構、算法優化，走出單一運算思維的局限，進而形成個性化的數學思維，提升“運算能力”，彰顯小學階段學生的基本數學素養。

[參 考 文 獻]

[1]國家教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]國家教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]潘小福.學科關鍵能力的厘定、評價及培養——以小學數學為例[J].上海教育科研，2015（11）.

[4]此數據為筆者對本區域內21所自主命題學校2018學年秋學期各年級試卷分析結果，不代表其他地區.

[5]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[6]王永春.小學數學核心素養體系下的運算能力[J].小學教學研究，2017（3）.

[7]徐文彬，喻平.數感及其盛開與發展[N].數學教育學報，2007（5）.

[8]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007.

[9]蔣敏杰.小學數學計算教學算理的結構分析及教學策略[J].中小學教師培訓，2016（7）.

（責任編輯：李雪虹）