三角形的（面積）變化

劉善娜（特級(jí)教師）

【教學(xué)時(shí)機(jī)】

人教版五年級(jí)上冊(cè)，三角形的面積學(xué)習(xí)之后。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)畫(huà)三角形的草圖及“等積變形”，使學(xué)生感受三角形面積與平行四邊形面積的聯(lián)系，進(jìn)一步掌握靈活計(jì)算三角形面積的策略。

2.通過(guò)從長(zhǎng)方形中“切分”三角形，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、回顧三角形的“底”“高”特征

1.看式子想圖形。

師：看著 5×4÷2=10cm2，請(qǐng)你描述一下這是一個(gè)怎樣的三角形？請(qǐng)畫(huà)一個(gè)草圖，標(biāo)注相關(guān)數(shù)據(jù)。動(dòng)作快的話(huà)，可以多畫(huà)幾個(gè)。

2.欣賞草圖，感受“等積”三角形。

問(wèn)1：為什么這些三角形的面積都是5×4÷2=10cm2？

問(wèn)2：同底等高，高的找法，誰(shuí)再來(lái)分享一下？

（強(qiáng)調(diào)“從頂點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的底邊的垂直線(xiàn)段”）

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)了解“同底等高”的三角形的草圖，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)用“等積變形”解決三角形面積的問(wèn)題打下基礎(chǔ)?！?/p>

二、感受三角形與平行四邊形的關(guān)系

1.畫(huà)出符合條件的三角形與平行四邊形的草圖，要求標(biāo)注數(shù)據(jù)，再說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

（1）三角形與平行四邊形，等底等高。

（2）三角形與平行四邊形，等底等面積。

（3）三角形與平行四邊形，等高等面積。

【設(shè)計(jì)意圖：小學(xué)生通過(guò)具體的數(shù)據(jù)比較容易理解“相等”，因此借助給草圖標(biāo)注數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生理解較為抽象的“變化”，使學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)單的草圖來(lái)理解問(wèn)題。】

2.反饋交流。

（1）先交流有錯(cuò)的草圖。

方法小結(jié)：畫(huà)草圖時(shí)可以假設(shè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)與圖要有一定的對(duì)應(yīng)；畫(huà)完之后要“回頭看一看”畫(huà)的圖是否符合要求。

（2）觀察畫(huà)得較好的三組草圖，試著填一填“等（ ）等（ ），三角形的（ ）是平行四邊形的（ ）”。

小結(jié)：等底等高，三角形面積是平行四邊形面積的一半；等底等面積，三角形的高是平行四邊形的高的兩倍；等高等面積，三角形的底是平行四邊形的底的兩倍。

師：為什么后兩種情況“等面積”時(shí)，作為“弱者”的三角形的“高”和“底”，反而是平行四邊形的“高”和“底”的兩倍了呢？

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生的印象中，三角形是“弱者”，他們習(xí)慣于回答“三角形的（ ）是平行四邊形的一半”。教師結(jié)合前面的草圖，板畫(huà)重合式的草圖，加深學(xué)生的理解。】

3.變式跟進(jìn)。

畫(huà)出符合條件的三角形與平行四邊形的草圖，要求標(biāo)注數(shù)據(jù)，再說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

（1）三角形與平行四邊形面積相等，三角形的底是平行四邊形的底的一半，請(qǐng)畫(huà)出三角形的高與平行四邊形的高的關(guān)系。

（2）三角形與平行四邊形面積相等，三角形的底是平行四邊形的底的四倍，請(qǐng)畫(huà)出三角形的高與平行四邊形的高的關(guān)系。

師：你是怎么畫(huà)的？說(shuō)說(shuō)步驟。你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生交流）

【設(shè)計(jì)意圖：三角形和平行四邊形之間的面積變化問(wèn)題，難度一般不會(huì)達(dá)到這個(gè)程度，但畫(huà)圖的思路、思考問(wèn)題的方式卻和前面是一致的，因此可以通過(guò)拓展使學(xué)生進(jìn)一步掌握畫(huà)圖分析的技能。】

三、體驗(yàn)長(zhǎng)方形中分割三角形的多種情況

1.畫(huà)出具體的裁切草圖。

在一張長(zhǎng)12cm、寬8cm的長(zhǎng)方形紙上剪兩條直角邊分別為2cm和3cm的直角三角形，最多能剪幾個(gè)？

2.理解題意，厘清思路。

畫(huà)長(zhǎng)方形，標(biāo)注數(shù)據(jù)（師生都畫(huà)好長(zhǎng)方形、標(biāo)好數(shù)據(jù)）→畫(huà)三角形→算個(gè)數(shù)。

3.展示交流。

（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)畫(huà)法，教師板畫(huà)）

問(wèn)1：為什么先分割成小長(zhǎng)方形？

問(wèn)2：式子中的兩個(gè)“8”分別表示什么意思？

問(wèn)3：如果還是這張紙，現(xiàn)在剪的直角三角形的一條直角邊不變還是3厘米，另一條直角邊變長(zhǎng)一些，從2厘米變成3厘米，請(qǐng)你估估看，現(xiàn)在大約能剪多少個(gè)這樣的三角形？

A.30～39個(gè) B.20～29個(gè) C.10～19個(gè)

4.畫(huà)圖驗(yàn)證。

師：為什么只有16個(gè)，和預(yù)估差這么遠(yuǎn)？

師：大圖形中裁切小圖形，有可能不浪費(fèi)，是正好的，也有可能會(huì)浪費(fèi)，數(shù)個(gè)數(shù)的好方法是什么？

小結(jié)：利用草圖，確定一行最多能裁切幾個(gè)，一列最多能裁切幾個(gè)。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生喜歡通過(guò)“長(zhǎng)方形面積÷三角形面積”來(lái)求三角形的個(gè)數(shù)，這種算法只適用于“沒(méi)有多余”的情況。通過(guò)畫(huà)圖、估算，學(xué)生會(huì)明白只有從“行”和“列”的角度去思考個(gè)數(shù)，才是合理的。】

四、全課總結(jié)

師：學(xué)了關(guān)于三角形面積問(wèn)題的各種相關(guān)草圖，你有什么收獲？

【教學(xué)建議】

本課內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)完三角形面積后進(jìn)行教學(xué)的。一旦本課的教學(xué)目標(biāo)達(dá)成，練習(xí)課的課時(shí)就可以適當(dāng)縮短。在實(shí)際教學(xué)中要把握好以下兩點(diǎn)：

一、把握好“種子課”特質(zhì)，充分積累經(jīng)驗(yàn)

“種子課”特質(zhì)分兩層含義，通俗地說(shuō)，其一為“本身就很重要”，盡可能讓每位學(xué)生都掌握。在教學(xué)中，要有充分的時(shí)間，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，可以嘗試畫(huà)、可以跟著畫(huà)、可以鞏固畫(huà)。其二為“對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)很重要”，等底等高的圓柱和圓錐的關(guān)系就與本課研究的關(guān)系類(lèi)似，教師需要有為后續(xù)發(fā)散做好經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備的意識(shí)，讓學(xué)生在較為簡(jiǎn)單的平面圖形學(xué)習(xí)階段里體驗(yàn)到各種變化，鞏固相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。

二、既要強(qiáng)調(diào)“假設(shè)數(shù)據(jù)”作圖，也要關(guān)注“回頭看一看”的正向驗(yàn)證

學(xué)生下意識(shí)就會(huì)認(rèn)為平行四邊形比三角形要大，因?yàn)槿切蔚拿娣e計(jì)算公式推導(dǎo)的過(guò)程和結(jié)果都在給予他們這樣的印象。如果告知等底等高，學(xué)生對(duì)兩者面積的判斷就是一種正向的驗(yàn)證。但如果告知底和面積相等，讓學(xué)生對(duì)高作出判斷，就需要逆向思維，相對(duì)會(huì)有難度。除了讓學(xué)生多假設(shè)數(shù)據(jù)作圖，也要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“回頭看一看”的習(xí)慣。如畫(huà)一對(duì)“等底等面積”的三角形和平行四邊形，學(xué)生很可能在畫(huà)出“等底”后又畫(huà)了“等高”。畫(huà)的時(shí)候，學(xué)生會(huì)因混亂而畫(huà)錯(cuò)，但一旦圖形真的畫(huà)出來(lái)后，他們也會(huì)發(fā)現(xiàn)這是“等底等高”，那“面積”一定是平行四邊形的大。畫(huà)圖的優(yōu)點(diǎn)就在于，一旦學(xué)生“逆向”失敗，畫(huà)錯(cuò)之后只要肯“回頭”用正向思維去看看自己畫(huà)的圖，就能很快糾正錯(cuò)誤。