“數學建模”的教學新模式
———以“羽毛球筒的包裝問題”教學為例

周青燕

數學建模是借助抽象的數學符號來代表現實中的問題，然后通過找到數學問題的解決方法，進而確定出針對最初現實問題的適當解決方案。這個過程可以理解為現實世界和抽象數學符號世界之間在進行交互作用。筆者查閱了大量資料，發現在過去的建模教學研究中，一線教師對“相遇問題”“植樹問題”“盈虧問題”這樣某一類應用問題研究較多，研究對象都是從現實生活中抽象出的理想化的數學模型。能不能通過研究更貼近生活的數學問題，考查學生對于一個綜合性問題的解決能力處于什么水平呢？筆者進行了以下嘗試。

【教學目標】

1.通過小組合作觀察、測量、計算，探究發現設計羽毛球筒的方法。

2.通過討論，用測量得到的數據計算出羽毛球筒的高度，發現計算羽毛球重疊后的高度的方法。

3.通過閱讀提取數學信息，找到解決生活中數學問題的方法。

【教學過程】

一、情境引入，激發興趣

師：迪迪在學數學時碰到了一些問題，讓我們一起探討：羽毛球在出售的時候都是12個疊緊放在一筒出售的，迪迪家里有三個羽毛球，他想用這三個羽毛球、卡紙、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，設計出一個能裝12個羽毛球的圓柱體的羽毛球筒。請同學們先獨立思考找方法，然后合作解決問題。

1.獨立思考。

師：借助卡紙、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，你有什么好辦法解決問題？

2.合作探究。

師：用你們認為好的辦法進行測量，可以一個小組獨立完成，也可以組間合作。有需要記錄的可以記在紙上。

師：如果有時間，嘗試用不同的方法解決這個問題。

【設計意圖：這個問題相對于習慣解決傳統建模問題的學生來說難度很大，如果設計分步操作教學，反而打亂了學生解決問題的思路，增加了學生的操作負擔。直接給學生充分的時間解決問題，讓學生在小組合作操作中不斷進行試錯、糾錯實踐，在實踐中提煉方法，讓學生自己體會建模工作，從而對數學問題有更深地理解。在此過程中，教師將學生分組，以小組的形式進行建模相關工作，從而培養學生的團隊精神及表達能力。】

二、交流反饋，建立模型

1.直徑的測量結果。

師：為什么測量羽毛球羽毛部分的直徑？

師：量出來的結果是多少？你們是怎么量的？量的時候有一點誤差是正常的。有不同意見嗎？

2.交流反饋羽毛球筒的高度。

方法一：

生：量一個羽毛球的長，量羽毛球底座的長。（關注測量斜的與正確測量的糾正過程）

師：為什么要測量底座的高度？

生：羽毛球疊起來之后底座高度就是羽毛多出來部分的長度。（如下圖）

（板書：一個羽毛球+11個底部）

方法二：

師：還有沒有同學不是測量這兩個數據，也得到了筒的高度？

（板書：一個羽毛球的羽毛部分+12個底部）

師：這兩種方法有什么一樣的地方嗎？

師：與他們方法一樣的同學，說一說測量結果是多少？

師：造成這樣的測量誤差的原因會在哪里？測量一個羽毛球高度的時候要注意什么？

生：測量方法還不大準確。

（呈現測量錯誤的視頻）

小結：我們發現，解決一個復雜問題的時候，可以把它轉換成幾個簡單的步驟，一步步找到方法去計算，從而解決問題，測量時盡可能地減少誤差。

【設計意圖：動手實踐、自主探索、合作交流是學習數學的重要方式。因此，在上一個環節教師給學生充分的時間與空間。這個環節根據學生不同小組的學習能力，進行分層級匯報：能力強的學生可以匯報多種解決方法；能力較弱的學生可以借助學習材料說說自己與正確方法的差距。通過全班交流，發現計算羽毛球筒高度的方法。這樣安排可讓學生在充分交流中體驗羽毛球筒與羽毛球的關系，在反饋時重方法建模，同時關注測量方法導致的結果誤差。】

3.練習。

測量出一個某品牌羽毛球的高度是85毫米，底部高25毫米，怎么計算能裝12個羽毛球的筒的高度？

4.小結。

師：通過剛才的探究，你有什么想說的嗎？（測量方法要正確，盡量減少測量誤差）

【設計意圖：通過這樣的練習和小結，再次建立解決羽毛球筒高度和單個羽毛球高度之間的關系，建立數學模型。】

三、提出問題，豐富模型

師：根據這些數學信息，請你先提出一個簡單的數學問題，再提出一個富有挑戰性的問題。

1.學生獨立完成后小組交流，推薦小組認為最有水平的數學問題，投屏顯示，匯報交流。

2.組內成員相互解決對方提出的問題。

【設計意圖：學習過程中考慮到不同學生的需求，為有困難的學生提供學習的支架，允許不同程度的學生提出不同層次的問題，使“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”成為可能。在簡單問題的解決中，學生會提出模型的正向使用的問題，在復雜問題中對模型進行逆向運用。】

四、交流小結，應用模型

師：解決這個問題對你有什么啟示？在以前的學習中碰到過類似問題嗎？和什么問題是比較像的？

生：這是一個重疊問題。

師：說一說杯子、碗怎么計算疊起來之后的高度。你能說出它們之間的關系嗎？

師：根據現實情境，請你先提出一個簡單的數學問題，再提出一個富有挑戰性的問題。

【設計意圖：在數學建模應用實踐時，教師需要對學生進行一定的啟發與引導，使學生可以將生活中熟悉的場景與數學教學內容進行聯想，通過這種方式，學生在今后可以利用數學建模等方式解決現實生活中的數學問題。】

【實踐反思】

本次教學實踐將一個生活中遇到的數學問題完整呈現，讓學生充分操作解決問題。通過教學實踐第一次走出了傳統建模教學，同時也深深體會到了生活應用建模教學中，教師尤其需要做好問題的預設工作，且需要關注以下三點：其一，實踐性。在應用實踐過程中，將生活中的素材問題融入到教學工作中，從而使學生可以對相應內容輕松理解，并且可以通過學生自己的認知及生活經驗對問題進行分析，從而解決相應數學問題；其二，主體性。在進行應用實踐過程中，教師需要充分發揮學生的主體地位，讓學生親身體會建模，從而對數學問題有更深地理解。在此過程中，教師可以將學生分組，以小組形式進行建模的相關工作，從而使學生的團隊精神及表達能力得到培養；其三，典型性。由于小學生自身認知能力等方面的情況，數學建模應用實踐過程中需要對其典型性提供保障，從典型模型中學生可以更好地理解教師教學過程中所要表述的內容。

除此之外，在數學建模應用實踐時，教師需要對學生進行一定的啟發與引導，使學生可以將生活中熟悉的場景與數學教學內容進行聯想，通過這種方式，學生在今后可以利用數學建模等方式解決現實生活中的數學問題。很多情況下，學生無法發現生活中的數學問題，因此也無法形成相應的數學意識，不能利用數學手段解決生活中的問題，基于此，教師通過建模方式可以將數學問題與實際進行更好地聯系，提高學生利用數學建模思維及策略解決實際問題的意識與能力。在數學建模應用實踐的過程中，教師需要調動學生的參與熱情，并且對學生發散性思維進行培養，從而使學生可以利用豐富的方法及發散思維進行數學建模，提高數學建模應用實踐的質量與效果。