教材的專業(yè)化解讀與教學(xué)設(shè)計策略
———以《長方形面積計算公式的推導(dǎo)》為例

潘小福（特級教師）

關(guān)于長方形面積計算公式的推導(dǎo)，蘇教版教材共編排有三個例題。這三個例題的編排有什么特點？如何專業(yè)化解讀，并進行針對性的教學(xué)設(shè)計呢？

一、例題4的教材解讀與教學(xué)設(shè)計

例題4，讓學(xué)生分小組任意擺3個小長方形，然后填寫表格，但是教材沒有像例5、例6那樣，用大卡通來引導(dǎo)思考的方向。擺長方形后，學(xué)生要思考什么？教師也較少去思考擺長方形的目的是什么？

一般地，數(shù)學(xué)教學(xué)中，任何一個實踐操作活動，都應(yīng)該有一個思維的方向，也就是通過操作，思考什么？所以，在解讀教材時，要理解教材的編寫意圖，即要用一個“啟發(fā)式提問”引領(lǐng)學(xué)生的思維方向，指導(dǎo)學(xué)生的實踐操作。我想，這里可以用“你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”這個問題來引領(lǐng)，而且這個問題應(yīng)該在學(xué)生操作之初就提出。這是例題4教學(xué)的第一個問題。

例題4教學(xué)還有第二個問題，即教材提出“小組合作”，“小組合作”是一個籠統(tǒng)的概念，分幾人小組？小組里的同學(xué)如何分工？要如何表達小組學(xué)習(xí)的成果？……這些問題都需要進行教學(xué)法的規(guī)劃和設(shè)計。一般地，教師在教學(xué)例4的時候，往往會采取兩種方式，一種由小組合作轉(zhuǎn)化為每個學(xué)生操作——擺3個長方形，而這樣的教學(xué)設(shè)計，讓每一位同學(xué)都動手操作，擺出3個小長方形，往往會占用比較多的課堂學(xué)習(xí)時間。如果經(jīng)常采用學(xué)生個性化的獨立操作，學(xué)生的自主操作能力較強，則可以嘗試；如果學(xué)生操作能力一般，在課的起始階段，就讓學(xué)生占用過多的課堂學(xué)習(xí)時間進行操作，則會使得課堂沉悶，也會影響整節(jié)課的推進節(jié)奏，學(xué)習(xí)效率不高。另一種，則是用小組合作的形式，一般采用4人小組的形式。采用這種方式，這4人小組要進行適當(dāng)?shù)姆止ぃ纾群侠戆才牛绾螖[，如何記錄，如何思考，再推選一個人記錄填表，其他3個人各擺1個。在整個小組學(xué)習(xí)的過程中，每個小組的組長要做好組織、協(xié)調(diào)工作。

在例題4的教學(xué)過程中，最為關(guān)鍵的是在學(xué)生自主學(xué)習(xí)展開后，學(xué)生已經(jīng)形成了個性化的認知，但還不是很成熟、完善時，如何有效組織學(xué)生的互動交流，這是推進教學(xué)、提升學(xué)生認知和思維的關(guān)鍵。在這里，首先要注重收集學(xué)生的學(xué)習(xí)“資源”，所謂“資源”即是在前期學(xué)習(xí)過程中，對“你有什么發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)成果的“表征”，可以用文字，也可以用圖形等其他形式由學(xué)生表達出來。教師教學(xué)時，往往會一個一個地讓學(xué)生說一說自己的發(fā)現(xiàn)，這樣只有少數(shù)的學(xué)生參與到課堂交流之中，因此，此時最好精心選擇一組有典型性、代表性的學(xué)生的學(xué)習(xí)成果記錄單。何為典型性、代表性呢？即是教師在解讀教材時期望出現(xiàn)的“學(xué)生的發(fā)現(xiàn)”都能很好地呈現(xiàn)出來的學(xué)生的學(xué)習(xí)記錄單：

1.可能發(fā)現(xiàn)，含有幾個小正方形，它的面積就是幾平方厘米，這是舊知，上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)過。

2.還可能發(fā)現(xiàn)，橫排里擺幾個，長就是幾厘米，豎排擺幾個，寬就是幾厘米，這個發(fā)現(xiàn)是這堂課要讓學(xué)生體會的。體會到長方形的面積和長方形的長和寬是有關(guān)系的。

3.進一步的發(fā)現(xiàn)，可能是長方形的個數(shù)是它橫排的個數(shù)乘豎排的個數(shù)。這個發(fā)現(xiàn)，對后面長方形面積公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)是一個非常直觀的呈現(xiàn)。

這三個發(fā)現(xiàn)，就是例題4的學(xué)習(xí)目標，而且，這三個發(fā)現(xiàn)形成一個不斷遞進的序列，這樣的序列可以引導(dǎo)學(xué)生的認知不斷走向深入。如果有一張學(xué)習(xí)單中有這三個發(fā)現(xiàn)，那就是具有典型性和代表性，如果未能發(fā)現(xiàn)，則可以匯總學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，由教師組合在一起呈現(xiàn)。

呈現(xiàn)這樣有結(jié)構(gòu)、有序列的學(xué)生學(xué)習(xí)“資源”后，就可以引導(dǎo)每一個學(xué)生圍繞著下面的問題展開互動交流，促進認知的深化。

1.你理解這三個發(fā)現(xiàn)嗎？

2.這些發(fā)現(xiàn)都合理嗎？

3.把這三個發(fā)現(xiàn)與自己小組的發(fā)現(xiàn)對照，比一比，有什么不同？

通過這三個問題的互動交流，學(xué)生對剛才的自主學(xué)習(xí)活動過程進行了一次深度反思，引導(dǎo)著學(xué)生的思維不斷深刻，形成對長方形的長與寬決定著長方形面積的大小的關(guān)系認識，并初步猜想，長方形的面積就是長方形長與寬的乘積。這樣的教學(xué)設(shè)計還改變了課堂中“師——生”單一的對話交流方式，讓更多的學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)過程之中，讓更多的學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的主動權(quán)。

二、例題5的教材解讀與教學(xué)設(shè)計

例題4的教學(xué)，讓學(xué)生充分交流后，教師順勢提出：你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？引導(dǎo)學(xué)生提出：長方形的面積計算就是長乘寬。教師追問：這樣的發(fā)現(xiàn)是不是正確呢？于是，過渡到例題5的教學(xué)：接下來，我們繼續(xù)研究長方形的面積計算。用這樣的方式來推進教學(xué)，既符合知識的展開邏輯，又契合學(xué)生的認知需求，讓課堂教學(xué)的推進很有節(jié)奏感。

于是，教師先給出1個長方形（例題5第1個長方形），要求用小正方形量一量：它的面積是多少呢？讓學(xué)生用面積是1平方厘米的小正方形自主量，并把量得的結(jié)果記錄在長方形的邊上。然后，教師并列呈現(xiàn)學(xué)生的“資源”：一種是擺滿了的，第二種是橫排擺一行，豎排擺一行。

在組織交流時，可提出以下三個問題：

1.他們都量對了嗎？（都是12平方厘米，都是對的）

2.他們的量法有什么不同？（前者是擺滿了的，后者沒有擺滿）

3.為什么第二種擺法也能得到12平方厘米呢？（因為可以用每排擺的個數(shù)乘以排數(shù)）

這三個問題，串聯(lián)起學(xué)生自主的思維，得到這樣的認識：用面積是1平方厘米的小正方形量長方形的面積，只要先量長方形的長有幾個小正方形，再量長方形的寬有幾個小正方形，就可以用橫排的個數(shù)乘豎排的個數(shù)算出長方形含有幾個小正方形的個數(shù)，也就是長方形的面積是幾平方厘米。

學(xué)生對這三個問題的認識是推導(dǎo)得出長方形的面積計算公式的最為關(guān)鍵的基礎(chǔ)。正是如此，需要讓每一個學(xué)生深刻領(lǐng)會這樣的思維方法，因此，在交流結(jié)束后，教師再提出：你會用這樣的方法再量一個長方形的面積嗎？（讓學(xué)生量例題5第2個長方形）

教師在小結(jié)這一段教學(xué)時，要特別提出：剛才那位同學(xué)提出，長方形的面積可以用長乘寬來計算，在這里是否又一次的得到驗證？是否真的如此呢？我們需要再一次深入思考。

三、例題6的教材解讀與教學(xué)設(shè)計

在例題5教學(xué)的小結(jié)后，教師順勢推進到例題6的教學(xué)，教師出示例題6，提出：下面長方形的面積是多少平方厘米，你是如何想的呢？

學(xué)生一番思考后，會紛紛給出答案：14平方厘米。絕大多數(shù)學(xué)生會直接根據(jù)長乘寬來計算，即用7乘2得出長方形的面積是14平方厘米。此時，教師就順勢提出:為什么可以用7乘2呢？它的道理是什么？讓學(xué)生充分表達思考過程，引導(dǎo)學(xué)生從“實際擺”，到“想擺”，初步形成“長方形的面積其實就是長乘寬”的認識。

但是，在學(xué)生經(jīng)歷長方形面積計算公式猜想的驗證過程后，不宜立即就給出結(jié)論，教師應(yīng)再出示幾個方形，標出長和寬的長度，讓學(xué)生再想一想，為什么只要用長乘寬就可以得到長方形的面積。

至此，教師提出：長方形的面積與什么有關(guān)？可以怎樣求長方形的面積？讓學(xué)生經(jīng)歷長方形面積計算公式的數(shù)學(xué)化表達的過程，體驗數(shù)學(xué)語言表達的簡潔、規(guī)范。

回顧例4至例6這樣三個例題的教學(xué)，有兩條線索推進著教學(xué)的展開，第一條線索：通過擺小正方形來體會長方形的長，就是小正方形橫排的個數(shù)，長方形的寬，就是小正方形豎排的個數(shù)。含有幾個小正方形的個數(shù)，就是長方形的面積。用這樣的“實際擺”，到后來的“簡擺”，再到后來的“想擺”，引導(dǎo)學(xué)生體驗得出，長方形的面積就是長乘寬。這是教師主導(dǎo)的主動引領(lǐng)學(xué)生體驗的教學(xué)線索。同時還有一條線索，首先學(xué)生自主提出猜想：長方形的面積是長乘寬嗎?然后進一步來理解、推導(dǎo)、驗證，得出結(jié)論：長方形的面積=長×寬，這是一條學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)線索。兩條線索交織在一起，有力地推進教學(xué)，使得教學(xué)的展開與推進，既符合知識的科學(xué)邏輯，又與學(xué)生的認知規(guī)律相吻合。

四、由長方形面積計算公式推導(dǎo)聯(lián)想到整個平面圖形面積計算公式推導(dǎo)的教材解讀與教學(xué)設(shè)計

蘇教版教材有關(guān)平面圖形面積計算公式的推導(dǎo)，都是類似地出現(xiàn)了這樣三個層次的教材編排。這對我們進行以“類”推進，長程規(guī)劃數(shù)學(xué)教學(xué)，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著很好的促進作用。

圖1

例如，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)（見圖1）。教材首先提出：下面每組的兩個圖形面積相等嗎？讓學(xué)生理解，轉(zhuǎn)化前后，形狀改變但面積不變。緊接著提出：你能把平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為長方形嗎？其實是“有向轉(zhuǎn)化”，所謂“有向”就是朝著長方形的方向，要根據(jù)長方形的特征來進行轉(zhuǎn)化：沿高相剪，得出直角。最后，每個同學(xué)自選一個平行四邊形，轉(zhuǎn)化成長方形并求出長方形和平行四邊形的面積，在小組交流后，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式。

再如，圓的面積計算公式的推導(dǎo)（見圖2），其實也是分這樣三個層次：

第一步，給出一個圓，“你能用數(shù)方格的方法算出圓的面積嗎？”教給學(xué)生數(shù)小格的方法。接著，繼續(xù)給出2個大小不同的圓，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，填表格后，讓學(xué)生感受到圓的面積和半徑是有關(guān)系的。教師繼續(xù)提出：圓面積與它的半徑有什么關(guān)系？隨后，教師可以讓學(xué)生把圓等分16份、32份、64份，引領(lǐng)思考：拼成的長方形與原來的圓有什么關(guān)系？ 讓學(xué)生感受到長方形的面積與圓的面積相等，長方形的寬是圓的半徑，長方形的長是圓周長的一半。在此基礎(chǔ)上，得出圓的面積的公式。

圖2

蘇教版教材平面圖形面積推導(dǎo)公式都是類似地用這樣三個例題來展開的，體現(xiàn)出了同一類型的知識，它們有相同的課堂推進的結(jié)構(gòu)。這樣就可以通過回顧反思，例如在長方形面積計算公式推導(dǎo)時提煉研究學(xué)習(xí)平面圖形面積計算公式推導(dǎo)的一般方法，繼而在研究學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計算公式的推導(dǎo)時進行鞏固、應(yīng)用。讓學(xué)生既獲得知識、技能，又能通過豐盈的學(xué)習(xí)過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想方法。