數形結合思想在高中數學中的具體應用舉例

韋楊金

【摘 要】本文闡明數形結合的內涵及應用領域，以例講解數形結合思想的具體應用，將“數”轉化成“形”和將“形”轉化成“數”的運用方法，以幫助學生更好地運用數形結合思想方法。

【關鍵詞】數形結合 等差數列 立體幾何

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）07B-0117-03

高中數學幾乎處處滲透數形結合思想，在高考數學試題中大約 60% 的題型都含有數形結合思想。運用數形結合思想，可以開闊學生的解題思路，提高學習效率。

一、數形結合的內涵及應用領域

（一）數形結合的內涵。數形結合就是通過對數學問題的內在層次與結構進行分析，理清各個條件與結論之間的聯系，分析它的代數含義和幾何意義，把數學問題的各種關系與空間形式結合起來。利用這種結合，可以迅速地找出解決問題的思路。數形結合的本質在于把抽象、復雜的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，將代數問題幾何化，將幾何問題代數化。

（二）數形結合的應用領域。數形結合思想作為一種重要的數學思想，在教學過程中有重要的指導作用，在學生學習過程中有重要的價值。在初中數學中就有所涉及，例如在研究一次函數、二次函數、反比例函數的性質時，所使用的方法是先畫出函數的圖象，再分析圖象得出函數的性質。在高中數學中，數形結合思想的應用就更加廣泛，例如集合問題、求函數零點的個數、方程與不等式、三角函數、向量、數列、線性規劃、復數、解析幾何、立體幾何等有關問題都運用到數形結合思想。

二、數形結合思想的具體應用

（一）“數”轉化成“形”的應用?！皵怠鞭D化成“形”是我們常用的方法，圖形具有形象、直觀的特點，在解題時，通常把抽象的難以求解的代數問題轉化為圖形問題，利用圖形的直觀性來幫助我們解決抽象的代數問題。譬如，方程零點個數問題、不等式解集問題、復數問題、線性規劃問題、數列問題，等等，借助數形結合，這些問題都能快速地找出解決辦法，極大提高做題的效率。下面以數列問題為例，說明“數”轉化成“形”的應用。

數列是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，而等差數列以正整數集（或它的有限子集）為定義域的一次函數，它的前 n 項和是常數項為零的關于 n 的二次函數。因此等差數列的前 n 項和的最值問題可以結合一次函數的圖象或二次函數的圖象來求解。

〖例 1〗在等差數列{an}中，a1=5，S3=S8，問 n 為何值時， Sn 最大？

〖分析〗這是一個等差數列前 n 項和求最值的問題，解決這個問題有三種方法：配方法、通項法、圖象法。下面著重分析圖象法。

我們可以利用二次函數圖象的對稱性來確定 n 的值。構造函數，根據題意可知二次函數的圖象開口向下，在對稱軸處取到最大值。但值得注意的是，對稱軸對應的自變量是否為正整數？如果是正整數，則在對稱軸處取到最大值；如果不是正整數，則在與對稱軸距離最近的正整數取到最大值。

因為 不是正整數，而與 最近的正整數為 5 或 6，所以 n 取 5 或 6 時，Sn 的值最大。

值得注意的是，利用二次函數圖象的對稱性，可以快速求出對稱軸，即 Sm=Sn，則對稱軸為 。另外我們也可以利用幾何畫板畫出該函數的圖象來驗證，如圖所示：

另外我們也可以利用一次函數的圖象來解決，結合題意，應為首項大于 0，要使前 n 項和最大，那么第 n 項必須大于等于零，第 n+1 項必須小于或等于零。從圖象上來看，點（n，an）位于 x 軸的上方或 x 軸上，點（n，an+1）位于 x 軸下方或 x 軸上。由前面的方法可知 an=-n+6，令 g（x）=-x+6，畫出 g（x）的圖象，如圖所示：

從圖象可以看出點 A（5，1）位于 x 軸上方，點 B（6，0）位于 x 軸上，點 C（7，-1）位于 x 軸下方。故當 n 取 5 或 6 時 Sn 的值最大。

結論：運用數形結合思想，以形助數，可以更快地發現解題方法，避免復雜的計算，將復雜問題簡單化，提高解題的速度。

（二）“形”轉化成“數”的應用。利用幾何圖形形象、直觀的優點，將“數”轉化成“形”，用幾何圖形來解決代數問題，非常方便、快捷。但是幾何圖形在定量方面還必須借助代數計算，因此，用數論形可以讓學生更好地理解幾何圖形意義下的數量關系。解析幾何問題、立體幾何問題等都可以轉化成代數問題來解決。比如，立體幾何中二面角問題、垂直問題、平行問題以及空間兩點間的距離問題等，我們可運用向量法來解決。一般步驟：（1）建立空間直角坐標系；（2）將題中的點用坐標表示、線用向量表示；（3）把題中的幾何關系轉化為代數表達形式；（4）求解出代數結果，并轉化為幾何結論。下面以 2017 年全國高考理科數學（全國卷 1）的第 18 題第（2）小題為例。

〖例 2〗如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB//CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°。（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖分析〗求二面角 A-PB-C 的余弦值，利用幾何法必須先找出該角，才能在相應三角形中利用正、余弦定理或三角函數的知識求出該角的余弦值，但過程相當麻煩，單是找二面角就是一個難題。因此我們可以換一種思路，借助向量。因為面 APB 與面 PBC 的法向量的夾角與這兩個面的二面角互補，所以我們可以先求出面 APB 與面 PBC 的法向量的夾角。

〖解〗以 AD 中點 O 為原點，OA 為 x 軸，OP 為 z 軸建立平面直角坐標系。

結論：利用直角坐標系和向量，把幾何問題轉化成代數問題，使得復雜的幾何問題簡單化，解題過程簡單易行，運用的知識也比較簡單易懂，使得學生更加容易接受和吸收。

高中數學中數學思想方法有很多種，而數形結合思想使用的頻率最高。學生要掌握這一思想的使用原則，并能靈活運用該思想來解題。如果這樣，那么就能提高解題效率，提高學生的邏輯思維能力和推理能力。因此教師在教學中應重視數形結合思想的應用，在遇到能夠用該思想解題的題型時，要用這種思想方法來解答。

【參考文獻】

[1]韋柳榮.數形結合思想在解題中的應用[J].學周刊，2013（23）

[2]韓玉紅.數形結合思想在高中數學教學中的應用[J].數學研究，2017（2）

[3]于瀚欽.等差數列前 n 項和的最值問題中的一題多解[J].中學生數理化，2016（11）

（責編 盧建龍）