基于模型思想的解決問題能力之培養(yǎng)

田秋月

【摘 要】在數(shù)學模型思想的基礎上，以學生“差對應”的解題現(xiàn)狀為切入點，旨在培養(yǎng)學生解決問題的能力。從“應用問題”“數(shù)學模型”“個體體驗”這三個視角分析現(xiàn)狀成因，并對應現(xiàn)狀提出具體的實踐策略，強調學生對文字信息提取解讀、數(shù)學模型建構整合、元認知水平體驗這三方面能力的培養(yǎng)，以此實現(xiàn)基于模型思想的小學數(shù)學解決問題能力的提升。

【關鍵詞】模型思想；解決問題；差對應

一、引言

小學階段的“解決問題”某種程度上就是一種數(shù)學建模，是對一種比較復雜的特定情境給出一個具體的模型。學生所面臨的問題依托于數(shù)學知識來解決，而數(shù)學知識又通過“類型化”的界定產(chǎn)生較為固定的模型，本文以“差對應”模型為載體，探討培養(yǎng)學生解決問題的能力。

二、現(xiàn)狀

學生基于模型思想在解決問題時所體現(xiàn)的能力水平如何？筆者通過杭州市上城區(qū)2017學年第一學期四年級上冊統(tǒng)測卷中的第30題進行抽樣調查，以“盈虧問題”為突破口，獲得較為精準的區(qū)域性學生問題解決能力的定位。以第（1）（2）兩小題為臺階，兩個框內的內容為提示。

（一）測試內容

（1）“比計劃遲6天完成”，這6天做了多少個零件？

（2）“比計劃提前4天完成”，如果做滿計劃天數(shù)，還可以做多少個零件？

（3）這批零件有多少個？][（1）（2）之間產(chǎn)生了工作總量差。] [為什么會產(chǎn)生工作總量差？]

（二）測試結果

（三）結論分析

1.本題的樣本得分率只有50%，小學中段這一得分率較低，該問題具有一定的典型性。

2.根據(jù)上表，繪制出可反映結論的扇形、折線統(tǒng)計圖。

（1）作為一道文字表述的應用題，學生讀不懂題目信息。

由圖2可知，10%的學生連前兩個最基本的臺階性的過渡題都無從下手，說明這部分學生對基礎的文字表述應用題的理解是有障礙的。再聚焦到L3水平，學生不能理解題目中兩個框內的提示，不明白提示的用意，不知道對應數(shù)學語言所指向的數(shù)據(jù)間關聯(lián)是什么。

（2）作為一類“差對應”的模型題，學生未掌握數(shù)量關系。

由圖2可知，前四個水平層次78%的學生對“差對應”的結構是不理解的，他們不明確數(shù)量關系，不知道為了解決這個問題需要哪些關系量，即使是處于L3層級的學生也只是碎片化地、機械性地算出個別的量，而不是有意義地系統(tǒng)性思考。

（3）作為一種抽象化的生活情境，學生無個體體驗的感受。

由于學生缺乏實際的生活體驗，題目中天數(shù)的“遲”“提前”對于學生來說這樣的變化也是抽象的，再轉化成變化中的工作總量也存在一定的難度。

基于以上分析，我們需要思考，怎樣實施和開展小學中段解決問題能力的培養(yǎng)？模型思想作為數(shù)學本質的支撐怎樣為教學實踐提供指導？

三、概念梳理

本研究將“模型思想”定義為，借助反映特定問題或特定具體實物系統(tǒng)的數(shù)學結構，形成解決數(shù)學問題的思想方法和意識。并通過以下關系圖展示如何基于模型思想提高學生解決問題的能力。

從屬性上看，作為應用問題，讀題審題時需要對文字信息進行提取解讀；從本質上看，數(shù)學模型的建構是數(shù)學知識、數(shù)量關系的系統(tǒng)整合，需要思考、辨認、選取特定的解決問題的方法；從意義上看，學生解題時常需反思、檢驗過程與步驟的合理性，且對自己能力水平有一定的了解。

四、培養(yǎng)策略

（一）“文字信息提取”針對“應用問題”

解決問題的前提是面對文字（有時是表格、圖畫、情景對話、圖文結合等）信息。作為應用題，如果能讀懂題目、排除文字理解的干擾，答題情況又將如何？于是在問法上做了輕微直白的改動。

以原題處于L0、L1水平（這兩個小題原得0分和1分）的學生（占全體樣本的28%）為再次測試的對象，圖4正確率明顯優(yōu)于原題：這28%的學生中有47%的學生能做對圖4。截取一位同學的兩次作答過程：

可見，對信息的理解、提取能力在一定程度上制約了學生解決問題能力的發(fā)展。而加強讀題、審題、獲取信息等能力的培養(yǎng)，下圖給出了三個節(jié)點性的建議。

（二）“模型建構整合”落實“數(shù)學模型”

張奠宙教授在接受采訪時提到，就許多小學數(shù)學內容來說，本身就是一種數(shù)學模型……我們每堂數(shù)學課都在建立數(shù)學模型。從本文開頭的統(tǒng)計結果來看，處于L0～L3這四個水平層次的學生（占比78%）都是對“差對應”模型不理解。突破這個難點的前提，是不能寄希望于遇題解題地碎片化處理方式，學習就是由一個概念向另一個概念過渡。本文梳理了浙教版新思維小學數(shù)學教材體系，提煉出以下幾個教學節(jié)點。

三年級上冊：在①到②的變化過程中觀察差的變化規(guī)律，學生提煉出天平兩邊“立方體和球各一個，質量相差一個20克，如果兩邊各兩個其質量相差兩個20克”。

在數(shù)量相同的情況下，兩種帽子的單價差是造成總價差的原因，學生提煉出如下的關系句式：一頂帽子相差一個7元，2頂帽子相差兩個7元……n頂帽子相差n個7元。

四年級上冊：教材中以例題的形式正式引入“差對應”的模型。

第三次呈現(xiàn)的“差對應”問題已不再是正向的了，即已知“每份差”與“總差”，求“份數(shù)”。這對學生來說是思維方式上的第一次改變，也在應用中再次鞏固該模型。

四年級上冊：“雞兔同籠”屬于“兩積之和”問題，但本質上也是一種“差對應”問題：先用假設法算出總腿數(shù)，然后與實際情況進行對比，找出腿的總差；再找出每份差；最后用除法算出份數(shù)（即兔或雞的只數(shù)）。

四年級下冊：“負數(shù)”對理解盈虧問題的“總差”作用很大。

螺旋上升的“差對應”知識點在浙教版教材體系中經(jīng)歷了五次滲透，后續(xù)四下“方程”的教學還能為大部分學生找到新的出路（可通過正向等量關系列出方程并求解）。教學中每個階段節(jié)點做到有機整合，形成系統(tǒng)的線性結構，以此實現(xiàn)學生數(shù)學模型建構整合能力的提升。

（三）“元認知反思”指向“個體體驗”

學生對毫無生活經(jīng)驗的問題情境的體驗代入感較差。以下再試也證實了這一點：將原題“做零件”情境換成“送冰箱”。另外在求“總量差”的問題上調高了難度（原題兩次總量都是720個，數(shù)據(jù)相同在求“總量差”的時候只能用加法，而改編題兩種運送冰箱的總量分別為400臺、1200臺，這兩個數(shù)既可相加也可相減）。

這一改變帶來了不同的結果：原題第（3）題錯的學生再次測試改編題，45.5%的人正確。再對正確的學生進行隨機訪談，無一例外回答：改編題比原題簡單，我能讀懂后來這道題所表述的事。接著又分析了另外54.5%人的錯因，除了束手無策，絕大部分錯在求“總量差”時用了減法（見下圖）。

可見，學生產(chǎn)生解題障礙的原因除了模型本身，還有問題情境。然而數(shù)學模型原本就是基于現(xiàn)實問題進行抽象，不可能只遇到熟悉的情境。但如果教學時能夠啟發(fā)學生養(yǎng)成將結果代入原題數(shù)據(jù)進行檢驗的習慣，就會對答案進行質疑，并反思解題過程中的關鍵步驟：“每份差”肯定是對的，那么只能是“總量差”的計算發(fā)生了錯誤，再回到題目圈出關鍵詞，發(fā)現(xiàn)“多送”與“少送”形成的差是需要相加的。因此反思自己的解題過程是一種元認知水平的體現(xiàn)。

其次，本文開頭所呈現(xiàn)的分析結果中的水平層次表格，是教師在評價教學質量時的量化形式，其實也可以作為課堂教學的一種反饋方式呈現(xiàn)給學生，讓學生明白自己在班級中所處的水平、知識掌握到何種程度、通過怎樣的方式向更高水平進階……

參考文獻：

[1]史寧中.數(shù)學思想概論（第一輯）——數(shù)量與數(shù)量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008.

[2]唐彩斌.能力為重的小學數(shù)學[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[3]安德烈·焦爾當.學習的本質[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

（浙江省杭州市勝利實驗學校 310008）