雙重編碼視角下的小學數學直觀教學例談

張敏

【摘 要】雙重編碼理論告訴我們：通過同時用視覺和語言的形式呈現信息可增強信息的記憶和理解。雙重編碼理論為數學直觀教學提供了理論支持，在數學教學中，同時運用兩套編碼系統，可幫助學生理解數學概念，降低學生的認知負荷、學習難度，增強理解能力，提高學習效率。

【關鍵詞】雙重編碼；言語表征；視覺表征

心理學家佩維奧（Paivio.1986）是雙重編碼理論的提出者，他認為長時記憶可以分為兩個系統，即表象系統和語義系統。表象和語義是兩個既相平行又相聯系的認知系統，表象系統以表象代碼來存儲信息，語義系統以語義代碼來貯存信息。當學習者用言語和表象兩種認知系統表征相同的材料時，如果言語信息和圖像信息在時間和空間上一致時，在編碼過程中就會形成言語表征和視覺表征的連接，從而增加學習者提取信息的路徑，形成有效的學習并提高學習效果[1]。

雙重編碼理論給數學教學的啟示是：可通過同時運用圖像和語言的形式呈現信息來增強信息的記憶和理解。因此，在小學數學教學中，在知識的形成階段、聯系階段、深化階段和再現階段，應同時運用兩套編碼系統，以降低學生的認知負荷與學習難度，增強理解，提高學習效率。

一、知識形成階段：互譯比對

在知識的形成階段，為了幫助學生在頭腦中形成關于數學知識的言語表征與圖像表征，要充分利用提供的數學材料的數與形兩個方面特點，將數學材料中所蘊含的數學信息、數學規律以形的方式呈現出來，并引導學生再以數學語言加以描述，實現數學知識言語表征與圖像表征的互譯，形成對知識的深刻理解和感悟，以同化或順應的方式納入學生已有的認知結構中。

例如四年級下冊《近似數》教學片段。

師：如果我們不需要統計出人口的準確數，只需要統計到“萬”做單位的近似數就可以了，那么，男性人數和女性人數分別大約是多少萬人？

生：男性大約是38萬人，女性大約是39萬人。

師：這兩個人數都是38萬多，為什么男性大約38萬，女性大約39萬？

生：男性人數更加接近38萬，女性人數更加接近39萬。

師：（出示數軸）在這條直線上有兩個點分別表示38萬和39萬，那么男性人數大約在什么位置？女性人數大約在什么位置？（學生上臺指）

師：為什么會在這個位置上？你確定點的位置的依據是什么？

生：因為男性人數不到38萬5千，而女性人數超過了38萬5千。

師：噢，你是看千位上的數字。千位上是幾的時候，離38萬更近？（0、1、2、3、4）是幾的時候，離39萬更近？（5、6、7、8、9）

師：那么男女人口的總人數770889，你會在直線上想到什么樣的畫面？請在紙上畫一畫。

師：說說你是怎么想的。

生：770889在77萬到78萬之間，因為千位上是0，所以離77萬更近，大約是77萬。

師：（出示下圖）誰能說一說，是怎么求這幾個數的近似數的？

生：以萬為單位，就看千位上的數字，千位上的數字是0、1、2、3、4時就直接把后面的數全部去掉改成“萬”，千位上的數字是5、6、7、8、9時，去掉后面的數字時要在萬位的數字上加上1。

師：大家總結的這種求近似數的方法叫“四舍五入”法。

四舍五入法求近似數的規則用語言描述比較復雜，學生不容易理解。上述教學片段中，教師不急于引導學生得出結論，而是引導學生將材料中提供的準確數在數軸上表示出來，在學生頭腦中形成準確數在數軸上位置的心理圖像模式，通過教師的引導性語言將心理圖像轉化為數學表達——看千位上的數字是否滿5。在言語和圖像表征互譯對比基礎上，四舍五入法的規律呼之欲出，得到結論就顯得水到渠成、自然順暢。

二、知識聯系階段：多維解讀

在數學知識的深化理解階段，要實現對知識的“精加工”，需要幫助學生建立起新舊知識之間的聯系，并引導學生從不同的維度分析、解讀，在深層理解的基礎上與更多的知識建立更加廣泛的聯系，甚至獲得新信息，在以后運用時增加提取線索，便于檢索。例如六年級下冊《圓錐的體積》教學中，當體積計算公式推導出之后，組織學生建立關系模型并進行解讀。

師：根據剛才的操作與推導，當你看到一個圓錐時，會想到一個什么樣的圓柱？

生：我會想到和它等底等高的圓柱，這個圓柱的體積是圓錐的3倍。

生：我會想到和它底面積相等的圓柱，但是高只有它的[13]，這個圓柱的體積和它相等。

師：（出示右圖）是的，在研究圓錐的體積時，我們腦中要想到這樣一個圖形—— 一個圓錐和一個圓柱?，F在閉上眼睛，把這個圖像印到自己的腦子里。

師：從這幅圖中，你還能怎么描述這個圓柱和圓錐的關系？

生：圓錐比和它等底等高的圓柱體積小[23]。

生：圓柱比和它等底等高的圓錐體積多2倍。

生：等底等高的情況下，圓柱的體積與圓錐體積的比是3∶1。

生：等底等高的情況下，圓錐的體積與圓柱體積的比是1∶3。

師：如右圖，圓柱形的木料加工成體積最大的圓錐，你會想到什么？

生：圓錐的體積是圓柱體積的[13]。

生：削去部分的體積是圓柱體積的[23]。

通過以上的教學環節，學生頭腦中留下了圓錐與同底圓柱進行對比的視覺圖像，學生對圓錐與圓柱之間的聯系，有了更多角度更多層次的認識與把握，有利于學生用聯系的觀點看待數學對象，從而為學生的后續學習解決數學問題奠定基礎。

三、知識深化階段：開拓思維

學生學科素養的提升有賴于深度學習，只有深度學習學生才可能開拓思維。在知識的深化階段，如果學習者能夠將習得的知識推廣至新的情境里加以應用，這就體現出對知識的“理解”了[2]。要實現這一目標，可行的策略之一是在知識形成并建立相關聯系之后，根據學習材料的特點，呈現與知識相關的具有共同深層結構的數學問題及數學模型，運用所獲得的數學概念、原理等，從數與形兩個角度互相解釋、啟發，以引發深度體驗，開拓思維。例如六年級上冊《認識倒數》教學中，在通過算式辨析、感知等活動對倒數的概念有了一定認識與理解的基礎上，可以呈現面積為1的長方形，引導學生從圖像的角度進一步深化理解。

師：（逐一出示長方形）這些長方形的面積都是1，長和寬有什么關系？

生：長和寬互為倒數。

師：你是怎么想到的？

生：長乘寬的積都等于1，所以長和寬互為倒數。

師：（出示數據和括號）你能寫出括號里的數據嗎？（學生填寫）

師：像這樣的長方形有很多，把它們都放到一張圖中（動態出示右圖），每個長方形右上角的數對，里面的兩個數正好是長方形的什么？

生：長和寬。

師：這些表示長和寬的數對中的兩個數，有什么樣的變化規律？

生：第一個數越大，第二個數就越小；第一個數越小，第二個數就越大。

師：這些數對表示的點越接近橫軸和縱軸時，會不會和橫軸或縱軸重合？

生：不會。

師：為什么，能不能用倒數的知識來解釋一下？

生：每個數對中的兩個數都互為倒數，0沒有倒數，所以兩個數都不可能是0，那么就不會與橫軸、縱軸重合。

生：從面積的意義來說，只要長方形的面積是1，無論寬多小，都不可能為0。

根據在前一教學環節中所獲得的對倒數概念的語義理解，結合長方形的面積計算，將二者建立起有效聯系，再進一步將長方形及長與寬的數對表示的點繪制在坐標系上，對互為倒數的兩個數的變化趨勢與規律進行深度討論，一方面利用0沒有倒數的特征來說明圖像的特征，另一方面根據長方形面積的特點加深對0沒有倒數的結論的理解。這樣的直觀圖像與言語信息的互相解釋與互相理解，拓展了學生的思維空間和數學視野。

四、知識再現階段：點面結合

學生的認知結構是由知識點以及知識點之間有意義的聯結組成的。清晰、穩定、可辨別的認知結構是有意義學習追求的目的之一。所以，在數學教學中，要致力于幫助學生構建每一個知識點的視覺表征與言語表征，以及整個知識單元的視覺表征與言語表征，形成知識網絡的心理映象，建立知識點間的聯系通道，形成良好的認知結構。

（一）知識點的雙重表征——數學圖畫

在某一數學知識點學習完之后，為進一步強化它在認知結構中的地位，可以引導學生將所學的知識點以圖文結合的方式“畫”出來，圖（Anchor Chart）即是有效的形式之一。錨圖也叫要點圖，在美國中小學課堂上很常見，是將知識、邏輯、思維進行抽絲剝繭后搭配簡單的圖文呈現出來，基本上是“要點+圖形”的展現方式，能幫助學生直觀地理解數學概念、原理，領略重點。如下圖所示即學生學習立方分米和表面涂色的正方體后制作的錨圖，圖像、符號、文字等多種元素相結合，體現了學生對所學知識的個性化理解。

小學階段制作錨圖，應根據不同年段學生的特點提出不同的要求。低段可以采用教師演示、學生再創作的方式，中高段可以逐漸放手讓學生自由創作。學生在制作錨圖時，教師不用給予過多幫助與干涉，不同的學生會繪制出不同的錨圖，展現出思維方式的多樣性。繪制好的錨圖可以展示在教室的學習區域，學生可以隨時互相比較、參考。

（二）知識網絡雙重表征——思維導圖

當一個單元的知識學習完之后，可以引導學生對單元內的知識點進行圖文結合的整理——繪制數學思維導圖。思維導圖由形象直觀的圖像和相應的文字、符號等元素組成，側重于知識的整理與聯系，如右上圖所示的是學生在學習了五年級下冊《多邊形的面積》單元后所作的思維導圖。學生繪制思維導圖的過程，就是進行知識整合的過程，學生將零散的知識點按照知識的邏輯順序結合自己個人的理解建構知識網絡。知識網絡從中心詞發散，聯想到越來越多的知識點，圖像與言語兼具，十分有利于學生對知識的理解和記憶。

在復習課中，可以以小組為單位，討論交流自己制作的思維導圖中的概念及各概念間的關系，加深對概念的理解；同時要評價他人的思維導圖。在利用思維導圖進行交流的過程中，學生不僅對同學制作的思維導圖進行評價，幫助同學發現問題，而且能發現自己的不足，進行自我評價，從而完善自己的知識結構。通過讀圖—賞圖—完善圖活動，學生進一步從整體上把握知識的內在結構。

從雙重編碼理論可以看出，合理運用兩套編碼系統，可降低學習者的認知負荷，拓寬信息輸入渠道，提高學習效率，也為數學直觀教學提供了理論支持。

參考文獻：

[1]曹才瀚，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[2]劉曉萍.促進深度學習的教學策略[J].教育研究與評論（小學教育教學版），2015（10）.

（江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 215122）