基于數字圖像相關性方法的脆性材料拉氏反分析實驗技術*

丁圓圓，張 振，賴華偉，王永剛

(寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室,浙江 寧波 315211)

沖擊載荷下結構或材料的動態響應研究通常會歸結為對實測各種波傳播信息的解讀分析[1-2]。應力波傳播和演變特性本質上依賴于材料的本構行為，因此可利用一系列應力波傳播信息來反推材料的動態本構關系。20世紀70年代，Fowles[3]、Grady[4]和Seaman[5]提出了Lagrange反分析(簡稱拉氏反分析)方法，該方法事先不需要對材料作任何的本構關系假定，實測波傳播過程中的某些力學信息，基于普適的守恒方程計算得到其他的未知力學量。唐志平[6]和陳葉青等[7]在20世紀90年代曾對拉氏反分析方法的發展歷史和研究現狀進行過綜述。近年來，仍然有許有學者對拉氏反分析方法進行改進和完善。陶為俊等[8-9]提出沿時間逐步求解應力和基于最小二乘法的拉氏反分析新方法，獲得了混凝土材料應變率相關的彈塑性本構關系。林英睿等[10]對爆炸球面波實測數據進行拉氏反分析，得到了花崗巖材料的動態應力-應變關系曲線。Wang等[11-12]把Hopkinson實驗技術與拉氏反分析法相結合，提出了基于路徑線法的“單點應力和速度復合測量+多點速度測量或多點應變測量”的拉氏反分析新方法。近年來，丁圓圓等[13]、Ding等[14]又發展了基于路徑線法和零初始條件的改進型拉氏反分析方法。

雖然拉氏反方法在理論和數值求解方面都逐漸趨于完善，但極少用于實驗研究中，主要是因為缺乏波傳播信息的高時空分辨動態測試技術。傳統的動態測試手段主要是應力計[15](錳銅應力計或者PVDF(polyvinylidene fluoride)應力計)和應變片[16]。應力計需要埋入試件內部來監測材料內部的應力流場，由此將在材料內部不可避免地留下人為界面，該界面會對應力波的傳播特性帶來一定的影響，從而影響拉氏反分析的準確度。試件表面的不同位置粘貼應變片可以比較方便地監測應變波傳播信息，但是由應變波剖面積分求解速度信息和應力信息時，必須有應變邊界條件和應力邊界條件，這給數據處理帶來了雙重困難，會引入較大誤差。事實上，在爆炸或沖擊加載下，除了應力、應變信息外，粒子速度也是一個重要的物理量，可以比較方便地實時監測。早期采用磁電式粒子速度計來監測粒子速度時程，該技術是基于電磁感應原理[17]。近年來，基于激光多普勒頻移原理的激光干涉粒子速度測試技術被廣泛地應用于測量材料表面的粒子速度時程[18-21]，該測試技術是基于歐拉坐標系，測定的粒子速度時程不可直接應用于拉氏反分析，迄今未見激光干涉粒子速度測試技術應用于拉氏反分析相關的實驗工作報道。數字圖像相關性(digital image correlation, DIC)分析也是近年來發展迅猛的一種材料表面變形的光學非接觸測試技術，可以實現試件表面位移場、速度場以及應變場的實時測量，現已廣泛應用于材料靜態力學性能測試領域[22-23]。隨著超高速相機的發展，DIC分析也逐漸應用于材料動態力學性能測試領域[24-25]。

本文以分離式Hopkinson壓桿作為加載手段，借助高時空分辨率的超高速相機來實時監測PMMA長桿試件的表面變形散斑圖像，結合DIC分析技術，獲得試件表面的粒子速度場和應變場，再提取長桿試件上不同拉格朗日位置處的質點速度時程和應變時程，利用零初始條件,結合路徑線法，構建脆性材料動態本構的拉氏反分析實驗技術，并實現應變時程的自洽性檢驗，以PMMA(polymethyl methacrylate)材料為例，考察該實驗新技術的適用性。

1 基于零初始條件的拉氏反分析方法

在拉格朗日坐標下，一維應力波的質量守恒方程、動量守恒方程[2]分別為：

(1)

(2)

式中:v、σ、ε和ρ分別為粒子速度、應力、應變和密度，X和t分別為拉格朗日坐標位置和時間。

從式(1)和(2)中可以發現，質量守恒方程將應變ε與質點速度v聯系起來，而動量守恒方程建立了應力σ和質點速度v之間的關系，那么就可以通過測量中間變量質點速度v將應力σ和應變ε的關系建立起來，從而獲取材料動態本構關系。由于v、ε、σ物理量之間是通過一階偏導數相聯系的, 在分析過程中必然涉及微積分處理。在微積分處理前，根據Grady等[4]提出的路徑線法，需要對得到的粒子速度場按照加載、卸載和曲線上的特征拐點進行分區，在確定每個區域不同X處的粒子速度波形v(Xi,t)后，首先求其對拉格朗日位置X的一階偏導數(?v/?X)t，由此可通過方程(1)求得?ε/?t，再利用零時刻初始條件(t=0時ε(Xi,0)=0)，對時間t的積分求得應變波形ε(Xi,t)。但是，在由方程(2)求得應力σ(Xi,t)時則必須有應力邊界條件才可以進行積分求得。事實上，對于σ(Xi,t)同樣也有零時刻初始條件，為此需要把守恒方程中?σ/?X轉換為?σ/?t，從而發展了零初始條件的拉氏方法。根據Grady等[4]提出的路徑線法，容易得到應力沿路徑線的全微分關系：

(3)

改寫為：

(4)

利用首條路徑線上滿足零時刻初始條件：t=0時,σ=(dσ/dX)|p1=0，從而確定零時刻的路徑線上的?σ/?t，再由數值積分可確定下一條路徑線上的應力σ，由此按式(4)逐次類推，可得到試件不同拉格朗日位置上的應力時程。最后，消去應變時程和應力時程中的時間參量，即可得到材料的應力-應變關系曲線。

2 實 驗

波傳播反分析實驗裝置如圖1所示，該實驗裝置是在分離式Hopkinson壓桿系統上搭建的，通過高壓氣槍發射鋁合金短桿子彈，子彈撞擊鋁合金入射桿后，在入射桿中產生應力脈沖，應力脈沖從入射桿傳入PMMA長桿試件中，從而實現對PMMA試件的動態加載。鋁合金子彈的直徑為14.5 mm，長度為100 mm。PMMA長桿試件的直徑也為14.5 mm, 長度為1 000 mm。這里采用短桿子彈和長桿試件避免了應力波在測量區發生疊加。實驗中，在入射桿前端增加了波形整形器(環形無氧銅墊片)來調整應力脈沖的波形，以便于實現恒定應變率加載條件。采用基于超高速相機的DIC技術來監測長桿試件中波傳播信息。DIC技術是一種迅速發展的材料表面變形場測量技術，其基本原理：首先獲取試樣表面散斑圖像，散斑圖像上的所有特征點以像素點為坐標，以像素灰度作為信息載體；然后，在試樣表面上劃分出若干個圖像子區，類似于有限元計算中劃分網格，在圖像移動或變形過程中，基于圖像子區灰度值不變的假定，追蹤每個圖像子區在變形后圖像的位置，即可獲得所有的圖像子區中心點處的位移矢量，從而獲得物體表面的位移場信息。有關DIC方法的詳細闡述請參見文獻[22]。實驗中，在長桿試件靠近入射桿的一端人工制作了長約80 mm的黑白散斑區。通過超高速相機實時記錄試件散斑區的表面變形照片。對散斑照片進行DIC分析，即可獲取試件全場位移、速度和應變等信息。這里需要強調的是，雖然DIC方法已廣泛應用于材料準靜態力學性能測試，但在材料動態力學性能測試方面的應用一直受制于超高速相機的時空分辨率。近年來，英國Specialised-imaging 公司成功開發了一款高時空分辨率的Kirana相機，該相機拍攝速度范圍為1 000～5 000 000 s-1，在所有的拍攝速度下保持圖像分辨率(924×768像素)不變，一次觸發可連續拍攝180張照片。在本實驗中，加載應力脈沖的脈寬約100 μs，這里采用的拍攝速度為1 000 000 s-1，時間分辨率為1 μs，總拍攝時長為180 μs，因此可以完整記錄應力脈沖在試件中的傳播過程。

3 實驗結果與討論

采用商業DIC分析軟件(美國Correlated Solutions 公司開發的VIC-2D)對超高速相機拍攝到的長桿試件的散斑圖像進行分析。圖2給出幾個不同時刻的DIC分析得到的位移場云圖分布，圖中可清楚顯示出應力波傳播到散斑區時所引起的位移場的變化。30 μs之前應力波沒有到達散斑區域，位移為零；在約40 μs時應力波抵達散斑區域，從而引起了位移場的變化；在50 和60 μs時可以觀察到應力波在桿中傳播。圖3給出了一個代表性特征點的位移時程曲線和粒子速度時程曲線，其中粒子速度時程曲線是通過對位移時程曲線進行求導而獲取的。按照此方法，可以沿著長桿試件在不同的拉格朗日位置點提取出若干條粒子速度時程曲線。圖4給出了接近撞擊端附近的間距為2.5 mm的4個典型測量點的粒子速度時程曲線，圖中顯示了粒子速度的峰值隨著傳播距離有明顯的衰減，這是因為試件材料PMMA是典型的黏彈性材料，這種衰減行為恰是反映了應力波在黏彈性材料中傳播時典型的黏性耗散和彌散特性。

基于不同拉格朗日位置處的粒子速度時程曲線,根據式(1),再結合零初始條件，數值求解得到不同拉格朗日位置處的應變時程曲線，如圖5所示。為了檢驗拉氏反分析得到的應變數據的可靠性，以一個典型測點為例，圖6分別給出了拉氏反分析得到的應變時程與DIC分析得到的結果，結果顯示2種方法所得的應變時程具有非常好的一致性，實現了應變自洽性驗證。從圖5可以看到，加載段的應變時程的斜率基本保持不變，對數據進行最小二乘法線性擬合，即可得到4個測點試件的加載應變率在585～636 s-1，隨著波傳播距離的增大，應變率稍有減小。實驗中，采用波形整形器技術產生三角形加載波，這基本保持了加載應變率恒定；通過調整子彈撞擊速度來改變試件應變率和應變的大小。

為了求解應力時程，首先按照路徑線法原理，以質點速度時程曲線上的峰值為特征點把質點速度時程曲線分為加載區和卸載區；在每個區域中，對每條質點速度曲線進行等間距劃分節點數，那么每條質點速度曲線都有N個節點，將每條質點速度曲線所對應的節點通過光滑的曲線連接在一起，從而構造了路徑線，通過這些路徑線把整個速度場聯系在一起，再利用式(4)計算應力時程。根據不同拉格朗日位置處的質點速度時程曲線，見圖4，拉氏反分析數值求解得到的4個測量點應力時程曲線見圖7。

根據圖5和圖7分別給出的應變時程和應力時程，消去時間參量，即得到了PMMA材料在高應變率(585～636 s-1)下的動態應力-應變曲線，如圖8所示。圖8同時也給出了MTS-810萬能試驗機和分離式Hopkinson 壓桿實驗得到的PMMA材料在準靜態(10-3s-1)和動態 (450 s-1)下的應力-應變曲線。準靜態實驗結果表明，PMMA材料在小應變下加載曲線和卸載曲線形成遲滯曲線，這恰好反映了PMMA材料具有非線性黏彈性本構響應的特征，而在較大應變時則表現出非線性黏彈塑性本構響應的特征。整體來說，PMMA材料力學性能的應變率效應顯著。另外，圖8還顯示：雖然拉氏反分析實驗中試件應變率較高，但是試件總應變卻小于分離式Hopkinson壓桿實驗的結果。在分離式Hopkinson壓桿實驗中，試件應變不僅取決于子彈撞擊速度v，還取決于子彈長度L(加載脈寬t=2L/C0，C0是子彈中彈性波波速)。但是，在拉氏反分析實驗中，從式(1)可知：試件的應變率與速度梯度相關，主要取決于子彈撞擊速度，在本實驗方案中子彈撞擊速度受限于入射桿材料的彈性極限，這導致在拉氏反分析實驗中難以在試件中產生較大的應變，這是拉氏反分析實驗技術的最大不足之處，制約了拉氏反分析方法更廣泛的應用。因此，該方法主要較適合于研究脆性材料動態力學行為，如巖石、陶瓷、混凝土、脆性高聚物等。事實上，傳統的分離式Hopkinson壓桿實驗技術在研究這類脆性材料時卻遇到了一定的困難，由于脆性材料的破壞應變較小，難以滿足應變/應力均勻性基本假定[26]。總體來說，在材料動態力學性能測試技術領域，拉氏反分析實驗技術可以作為分離式Hopkinson壓桿實驗技術的有益補充，相輔相成。隨著高精度的波傳播信息多點監測技術快速發展，拉氏反分析實驗技術也將逐漸得到較廣泛的應用。

4 結 論

以分離式Hopkinson壓桿系統作為加載手段，借助超高速數字相機和數字圖像相關性分析技術，實時監測了長桿試件某特定選區內的位移場、質點速度場及應變場信息。在不同的拉格朗日位置處提取出若干條質點速度時程曲線，構建路徑線，再利用零初始條件，建立了脆性材料應力-應變關系的拉氏反分析數值求解方法。以PMMA材料為例，成功地獲得了PMMA材料在高應變率下的應力-應變曲線，對比分析了該材料的率相關本構響應特征，對試件的應變時程進行了自洽性檢驗，驗證了新實驗技術的適用性，同時討論了該技術的不足之處。