系數(shù)矩陣是方陣的含參數(shù)線性方程組解的系數(shù)行列式判別法

黃毅 成都大學信息科學與工程學院 模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室 成都大學大數(shù)據(jù)研究院 四川成都 610106

一 引言

在線性代數(shù)的教學和學習中，時常會遇到下面這樣的含參數(shù)線性方程組的問題：

(1)有唯一解；(2) 無解；(3) 有無窮多解？并在有無窮多解時求出其通解。

這類問題中的方程組一般都是系數(shù)矩陣是方陣即方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的方程組，它們的求解有一定的方法可循。但是一般的課本和參考書對這類問題的解法及其背后的理論并未給出較詳細和清楚的說明，不少學生感到這類問題不好求解。本文將詳細介紹這類方程組解的系數(shù)行列式判別法，并給出其理論依據(jù)。這一理論依據(jù)即本文中的定理在一般的線性代數(shù)課本中并未明確給出，但結(jié)論本身卻非常重要。

二 判別定理

我們首先給出本文的主要定理。

對于一般的線性方程組Ax = b，解的判別由系數(shù)矩陣A的秩r(A)和增廣矩陣以及未知數(shù)的個數(shù)n三者的大小關(guān)系來確定[1]。當線性方程組的方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)時，即線性方程組的系數(shù)矩陣是方陣時，方程組解的判別可以由系數(shù)矩陣A的行列式即系數(shù)行列式A來確定，結(jié)論如下：

定理 （系數(shù)矩陣是方陣的線性方程組解的系數(shù)行列式判別定理）

設(shè)A是方陣，則：

證明

只需證明(a)即可，(b)和(a)是等價的命題。

評論：

(一)這一定理專門適用于方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的線性方程組解的判別；

(二)注意到(a)其實就對應著克萊姆法則。克萊姆法則是(a)中從左推出右這一結(jié)論，即A≠0?線性方程組Ax = b有唯一解。結(jié)論(a)說明，克萊姆法則可以補充敘述為充要條件。而一般的課本中只介紹了克萊姆法則，所以結(jié)論(a)彌補了課本的這一缺陷；

（三） 定理的結(jié)論適用于方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的任意線性方程組，包括齊次線性方程組和非齊次線性方程組。對于齊次線性方程組的特殊情形，我們相應的有下面的推論。

定理在b=0的特殊情況下，即在齊次線性方程組的情形時，就成為：

推論 設(shè)A是方陣，則：

(I)A≠0?齊次線性方程組Ax=0只有零解

(II)A=0?齊次線性方程組Ax=0有非零解

在一般的課本中都有針對齊次線性方程組的這一推論的結(jié)論，但對于適用于非齊次線性方程組的前面定理的結(jié)論卻不多見，而它正是用系數(shù)行列式方法解決這類含參數(shù)線性方程組問題的理論依據(jù)。

三 問題的求解

下面我們就用增廣矩陣的初等變換法和前面定理的系數(shù)行列式判別法兩種方法來求解本文最開始提出的問題，之后再求解另一個含參數(shù)線性方程組的問題。這兩個問題都來自文獻中的習題。我們會看到，一般情況下系數(shù)行列式判別法比初等變換法更簡捷。

(1)有唯一解；(2) 無解；(3) 有無窮多解？并在有無窮多解時求出其通解。

分析

注意問題1和下面的問題2實際上是要分別尋找方程組有唯一解、無解和有無窮多解的充分必要條件，而不僅僅是充分條件。

解法一：初等變換法

解法二：系數(shù)行列式法

因為本題的方程組是方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的方程組，所以可以利用第二節(jié)的定理來求解。

首先要計算出系數(shù)行列式A ：

（注意，計算此行列式可以采用先將第2列和第3列都加到第1列的方法）

于是根據(jù)第二節(jié)的定理有：

(1) 當λ≠-2且λ≠1時，A≠0，此時方程組有唯一解；

(2) 當λ=-2或λ=1時，A=0，此時方程組可能無解，也可能有無窮多解，具體是什么情況還需要分別把這兩個數(shù)代進去計算一下才知道。下面就分這兩種情況來討論。

(2-1) 當λ=-2時，增廣矩陣為

(2-2) 當λ=1時，增廣矩陣為

綜上所述，

(a) 當λ≠-2且λ≠1時，方程組有唯一解；

(b) 當λ=-2時，方程組無解；

(c) 當λ=1時，方程組有無窮多解，其通解為

評論：

比較解法一和解法二，可以看出，解法一帶著字母λ作初等行變換，計算和討論比較繁瑣。解法二思路清晰，計算和討論相對簡單一些。

我們再來看一個例子。

問題2

（注意，這種類型的題目系數(shù)行列式是帶有字母的行列式，其計算有時也會有一定的難度，直接用對角線法則展開計算可能會比較繁瑣，展開后還要分解因式，也可能并不好分解。這時，我們可以仔細觀察行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)化簡。為化簡行列式，一個目標就是需要讓行列式產(chǎn)生0。注意到|A|的第二行第一列元素是2，第三行第一列元素是-2，可以讓第二行加到第三行先產(chǎn)生一個0，這時會發(fā)現(xiàn)第三行還產(chǎn)生出公因子1-λ，提出這個公因子之后，計算一下就變得簡便起來）

（提出公因子1-λ之后，注意到第三行第二列是1，第三行第三列也是1，可以讓第二列減去第三列再產(chǎn)生一個0，這時第三行就有了兩個0，此時將行列式按第三行展開即可）

r(A)=2，r(B)=3，系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相等，所以此時無解。