例談“平行四邊形”教學中運用多種數學思想方法的實踐與探究

張玲玲

【中圖分類號】G623【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）24-0043-01

平行四邊形以及由它衍生而來的特殊平行四邊形是繼三角形后接觸到的第二類封閉圖形，它既是平面幾何的基本圖形，又是平面幾何研究的主要對象，近幾年，本人在對初中平行四邊形教學中，根據新課標理念，進行多種數學思想方法滲透的實踐與探究。取得了一定的成效?，F舉例如下。

一、轉化思想

例1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

分析：要證∠B=∠C，可把它們轉移到同一個三角形中，利用等腰三角形的有關性質，證明這個問題。

證明：過E作EM∥AB、EN∥CD，交BC于M、N，得平行四邊形ABME和平行四邊形NCDE.于是AE=BM，DE=CN.

∵E、F分別為AD、BC的中點，

∴AE=DE，BF=CF.

∴BM=CN.FM=FN.

又∵EF⊥BC

∴EM=EN.∠1=∠2.

∵AB∥EM.CD∥EN.

∴∠1=∠B.∠2=∠C.

∴∠B=∠C.

例2：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=7，BC=12.求證：∠B=60°.

分析：已知腰的條件，可平移一腰，將較分散的已知條件集中起來，為解決問題創造條件。

證明：過點A作AE∥DC交BC于E。由AD∥BC，知四邊形AECD為平行四邊形，

故AD=EC，AE=CD.

∵AB=CD=7，AD=5，BC=12，

∴BE=BC—CE=12-5=7.AE=CD=AB=7.

∴△ABE為等邊三角形，從而∠B=60°.

評注：轉化思想（又叫化歸思想）就是將復雜的問題轉化為簡單的問題，或將陌生的問題轉化為熟悉的問題來處理的一種思想，上述兩例將梯形通過分割或平移一腰，轉化為三角形和平行四邊形來處理，顯得十分簡捷，這是解決梯形問題的基本思想和方法。

二、數形結合思想（代數法）

例3：如圖，由兩個正方形組成長方形花壇ABCD，小明從頂點A沿著花壇間小路走到長邊中點O，再從中心O走到正方形OCDF的中心O1，再從中心O1，再從中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又從中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再從O3走到正方形O3KJP的中心O4一共走了32m，則長方形花壇ABCD的周長是（ ）.

分析：由條件知每段行程均為正方形的對角線長且依次減半，而正方形的對角線長又是邊長的2倍，因此，可通過大正方形ABOF的。邊長和總行程建立方程求解.

解：設大正方形ABOF的邊長為xm，則可利用一共走了32m這一條件建立方程2x+22x+222x+223x+224x=312，即（1+12+122+123+124）x=31，解得x=16（m）觀察圖形易知，長方形花壇ABCD的周長是6x=96（m），故選C.

例4：如右圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm.占P從A開始沿析線A-B-C-D以4cm/s的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動。如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達點D時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（s），t為何值時，四邊形APQD也為矩形？

分析：觀察圖形，要使四邊形APQD為矩形，只須AP=DQ即可。

解：由已知，有AP∥DQ，∠A=90°.當PA=DQ時，四邊形APQD是矩形，依題意，則有4t=20-t，所以t=4（s），即當t為4s時，四邊形APQD是矩形.

評注：以上兩例是運用幾何圖形的性質或判定定理，通過建立方程（組）及恒等變形等代數方法，把幾何問題轉化成代數問題予以解決，這種用數形結合思想和代數方法解決幾何問題的思想方法，應引起同學們的重視。

三、類比思想

例5：已知矩形ABCD和點P，當點P在圖1中的位置時，有結論：S△ABC=S△PAC+S△PCD.

理由：過點P作EF垂直BC，分別交AD、BC。于E、F兩點。

∵S△PBC+S△PAD=12BC·PF+12AD·PE

=12BC（PF+PE）=12BC·EF

=12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，即

S△PBC=S△PAC+S△PCD

請你參考上述信息，猜想當點P分別在圖（2）、圖（3）中的位置時，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎樣的數量關系？請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明。

分析：先認真閱讀題中給出的材料，理解、歸納其中的推理方法，然后探索、猜想不同圖形中指定的三個三角形面積之間的數量關系，再利用題中的說理方法類比證明所猜想的結論。

解：猜想結果：

圖2應有結論：S△PBC=S△PAC+S△PCD

圖3應有結論：S△PBC=S△PAC-S△PCD

對圖2的情況證明如下：如圖4，過點P作PF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點。

∵S△PBC=12BC·pF=12BC·PE+12BC·EF

=12AD·PE+12BC·EF

=S△PAD+12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD

評注：此例要求學生解題時，先要讀通、讀懂題意，在理解的基礎上分析所考查問題與閱讀材料的相關點，進而采用歸納類比、遷移轉化等思想方法解決問題。