基于思維發展的數學開放題教學與評價研究

李海東，楊傳岡

（1.泰興市南沙小學，江蘇 泰興 225464；2.鹽城市第二小學，江蘇 鹽城 224005）

所謂數學開放題，就是“答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題”[1]。“對問題指向只有原則性要求”和“一題多解”是數學開放題的本質特征。前者為后者提供了可能，后者是前者的體現。[2]蘇教版小學數學教科書在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”和“綜合與實踐”四個領域的教學內容中都設計了一些開放題，以便“不同水平層次的學生能給出適合自己現實水平的解答”，并從中“體驗數學的學習方法和研究方法，獲取數學知識，培養學生對數學的積極態度”[3]。學生解決開放題綜合運用數學知識的情況能有效反映他們的數學思維水平。因此，教師要精心組織數學開放題的教學和評價活動。

一、小學數學開放題教學

每個領域數學開放題的教學都應體現過程性，以便培養學生的探索精神和創造力。教師要根據學情、教科書和知識背景，精心設計恰當的數學活動，引導學生在觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思中感悟開放題知識的形成和應用過程。讓學生經歷這樣的教學過程，不但有助于他們理解和掌握數學知識與方法，而且有助于他們形成良好的數學思維習慣和應用意識，還能有效提高他們解決問題的能力。

1.引導學生經歷開放題知識形成過程

開放題能有效培養學生思維的創造性，但這只能建立在學生理解并掌握知識的基礎上，否則，學生思維發展就是無源之水、無本之木。教師進行開放題教學活動時，可以根據“知識背景—知識形成—揭示聯系”的過程引導學生經歷數學知識的形成過程，激發他們的學習興趣，幫助他們厘清知識之間的聯系，促進他們理解知識本質，發展他們的思維能力。

探索“和與積的奇偶性”（蘇教版五下P50）時，教科書中有這樣一道開放題：

兩個非0自然數的和是奇數還是偶數？這道開放題的知識背景是學過了奇數和偶數概念，學生知道自然數分奇數和偶數，掌握了奇數和偶數的意義。教師出示開放題后，學生經過思考，認為兩個非0自然數相加包括“奇數+偶數”“奇數+奇數”和“偶數+偶數”三種情況。根據這三種情況，學生提出了6個不同的數學問題，即：（1）奇數與偶數的和是奇數嗎？（2）奇數與偶數的和是偶數嗎？（3）奇數與奇數的和是奇數嗎？（4）奇數與奇數的和是偶數嗎？（5）偶數與偶數的和是奇數嗎？（6）偶數與偶數的和是偶數嗎？

這樣，開放題變成了學生容易理解和解決的問題了。這些問題其實是學生的猜想，需要進行驗證。驗證猜想時，學生先舉出一些奇數與偶數相加的例子，發現它們的和都是奇數，而不是偶數，從而初步驗證了“奇數與偶數相加的和是奇數”。在此基礎上，教師引導學生從奇、偶數的概念進行驗證：奇數除以2后余數是1，偶數除以2后余數是0，它們的和除以2后余數是1，1是奇數，因此，奇數與偶數的和是奇數而不是偶數。學生隨后用類似方法驗證了“奇數與奇數的和是偶數”以及“偶數與偶數的和是偶數”，從而得出了結論：兩個非0自然數的和可能是奇數，也可能是偶數。這樣，他們就經歷了開放題的問題解決過程，也就經歷了數學知識的形成過程，還溝通了奇數、偶數、余數之間的聯系。他們對開放式問題的認識逐漸從感性上升到理性，數學思維得到了順利發展。

2.引導學生經歷開放題知識應用過程

知識的應用依賴于知識的有效遷移，而知識的順利應用反過來能促進知識遷移的發生與加強。恰當應用開放題知識不僅能幫助學生鞏固所學知識，而且能幫助學生實現個體知識庫或知識結構的存儲與重構，從而促進開放題知識掌握、能力提升和智力激活。數學開放題的應用過程是學生檢驗知識理解和鞏固情況的過程，也是加深理解、使知識系統化的過程，還是學生根據開放題問題解決過程中形成經驗舉一反三的過程。教師根據教學需要可以及時引導學生經歷開放題的知識應用過程。

教學“長方體和正方體”時，教科書中有這樣一道開放題：你能求出一張紙的體積嗎？小組合作，動手試一試（蘇教版六上P25）。學生通過測量一疊A4紙（如1000張）的長、寬、高算出總體積，再求出一張紙的體積；學生也可以把一張A4紙對折成長方體，量出長、寬、高并求出體積。學了“圓柱和圓錐”后，教師設計了這樣一道開放題：如何測量一團橡皮泥的體積？這是一道策略性開放題，學生可以用測量A4紙的經驗，把橡皮泥變成規則形狀后進行測量，用長方體、正方體、圓柱或圓錐體積公式進行計算。在此基礎上，教師引導學生嘗試用其他方法求橡皮泥的體積。有的學生想到在量杯中倒入適量的水（保證橡皮泥放進杯中被水淹沒并且水不溢出），記下水面的刻度，把橡皮泥放進量杯后記下水面的刻度，兩次水面的刻度差就是橡皮泥的體積；有的學生進行了逆向思考——把橡皮泥放進量杯中倒入一些水，使水面超過橡皮泥而不溢出后停止倒水，記下水面的刻度，取出橡皮泥，記錄下水面下降后的刻度，算出兩次水面的刻度差就是橡皮泥的體積。教師講了阿基米德測皇冠中黃金的故事后，學生受到啟迪，想到在水槽中放一個玻璃杯并倒滿水，把橡皮泥放入玻璃杯，水從杯中溢出，最后把溢出的水倒入量杯，溢出水的體積就是橡皮泥的體積。最后，學生通過實驗驗證了三種方法的正確性。

學生應用所學長方體和正方體部分的開放題知識解決新開放題，需要根據問題情境，靈活應用數學學科知識或其他學科知識。在問題解決過程中，學生不僅能鞏固所學的體積公式，而且能培養綜合應用積累的知識經驗、生活經驗和數學活動經驗解決問題的能力。

二、小學數學開放題學習評價

小學數學開放題評價的主要目的是全面了解學生學習開放題的過程和結果，以便激勵學生學習、改進教師教學。為了有效達成目標，教師要“恰當評價學生在解決問題過程中所表現出的不同水平”，對學生在開放題問題解決中的數學思維評價要“依據課程標準的總目標和學段目標要求”，靈活應用各種形式和方法，“特別要重視在平時教學和具體的問題情境中進行評價”[4]。

1.“數與代數”領域的開放題學習評價

小學數學“數與代數”領域包括數的認識，數的表示，數的大小，數的運算，數量的估計，用字母表示數，代數式及其運算和方程等。“解決問題的策略”是蘇教版小學數學教科書的特色內容之一，當然少不了數學開放題。學生嘗試解決問題后，教師要結合“解決問題的策略”特點，有針對性地進行評價。

五年級上冊數學教科書“解決問題的策略（一一列舉）”中有這樣一道開放題（P98頁11題）：用48個邊長1厘米的正方形拼成長方形，有多少種不同的拼法？它們的周長各是多少？拼一拼，算一算。這道題共有5種不同拼法，它們的周長如表1。

學生解答后，教師評價他們的數學思維水平要結合“解決問題的策略”特點，從數學準確性和方法角度對學生進行評價。

一級水平：理解題意，能嘗試畫圖解決問題；

二級水平：能發現一些符合題意的長方形，并列表進行有序排列；

三級水平：列表有序排列，在觀察和比較中發現長、寬變化時周長的變化規律；

四級水平：列表有序排列，在觀察和比較中發現長、寬變化時周長的變化規律并驗證。

一名學生的答案（參見表2），被評為水平二，因為他能一一列舉出所有可能的拼法，雖然答案全、周長計算正確，但無序，沒法發現規律，更不要說驗證規律了。這樣評價學生的數學思維層次，主要關注學生解決問題的策略意識和思維水平。的一種或幾種；

三級水平：除了能做出二級水平中的正方體和長方體中的一種或幾種外，還能做出一組對面是正方形的長方體的一種或幾種（共12種），例如長10厘米、寬和高都是8厘米，或長8厘米、寬和高都是5厘米，等等。

四級水平：除了能做出水平三的不同情況外，還能想到特殊情況，如棱長是20厘米、18厘米、16厘米、14厘米、13厘米、12厘米或11厘米的正方體等需要24根或更多小棒做出的正方體、長方體。

下面是一名學生的答案（參見圖1），被評為水平二，因為他能做出符合要求的正方體和部分長方體，并用畫圖的方法表示出來，雖然不全，但排列有序。

表1

表2

2.“圖形與幾何”領域的開放題學習評價

小學數學的“圖形與幾何”領域包括空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量，圖形的平移、旋轉和軸對稱以及圖形的位置等。這些內容中都有開放式問題。評價時，教師要根據課程標準的要求，結合“圖形與幾何”領域的知識特點，在具體的問題情境中靈活評價學生的思維。

六年級上冊數學教科書有這樣一道數學開放題（25頁第11題）：用小棒和橡皮泥團，可以做出不同的長方體和正方體框架。小組合作，先填寫選料單，再做一做。

用8團橡皮泥，根據小棒的種類進行分類，只用1種小棒做出的正方體有4種，用2種小棒做出的長方體（一組對面是正方形）的有12種，用3種小棒做出的長方體有4種，共20種；如果用12團橡皮泥、16團橡皮泥、20團橡皮泥甚至更多橡皮泥，做出的長方體或正方體框架會更多……

“長方體和正方體”是小學階段真正開始學習的立體圖形，學生的思維開始從二維空間走向三維空間，空間觀念能得到進一步培養。學生嘗試解答后，教師評價他們的數學思維能力，要結合“長方體和正方體”的特征，從數學準確性和方法角度對學生的數學思考進行評價。

一級水平：能理解題意，想到用8團橡皮泥，只用1種小棒做出正方體，即棱長分別是10厘米、8厘米、6厘米和5厘米的正方體4種中的一種或幾種；

二級水平：能做出一級水平中的4種正方體和一種滿足條件的長方體，如長、寬、高分別是10厘米、8厘米、6厘米，或10厘米、8厘米、5厘米,或10厘米、6厘米、5厘米，或8厘米、6厘米、5厘米8種中

圖1

這道開放題的主要意圖是要求學生根據長方體和正方體的特征，合理選擇材料，完成搭建框架的實踐操作。這樣畫圖，既關注了“實踐”，又關注了“探索”，并且探索意味濃厚，反映了學生具有一定水平的空間觀念。

3.“統計與概率”領域的開放題學習評價

小學數學“統計與概率”領域包括收集、整理和描述數據（如整理調查數據、繪制統計圖表等），處理數據（如計算平均數等），從數據中提取信息并進行簡單推斷和簡單隨機事件等。學生解決相關開放題時要靈活應用統計知識。教師評價時要根據課程標準的要求，結合統計和可能性的特點，靈活評價學生的思維。

四年級上冊數學教科書“統計表和條形統計圖（一）”有這樣一道數學開放題（53頁第10題）：你每天做家庭作業的時間大約是多少？和其他同學相比，你用的時間比較長還是比較短？記錄你本周做家庭作業的時間并算出平均數。

學生把一周內每天做作業的時間都記下來，進行匯總，從中發現信息，如時間最長、最短、相差多少、平均數是多少、最接近哪一天的作業時間等，并體會這些數據所表示的意義。學生嘗試靈活整理，如尋找時間最長的那一天，可以直接比較尋找。當統計的天數比較多（如統計全班人數的作業時間）時，學生也可以分組尋找，然后全班比較；比較可以從小到大排列，也可以從大到小排列，還可以用一個時間做標準，把其他時間與它進行比較。整理的目的在于分析，學生可以獨立分析后交流，也可以先與同學交流統計結果，再討論用什么數據表示自己的作業時間比較合適，說說合理安排時間的體會，甚至可以用條形統計圖直觀分析每天的作業時間及差異。學生嘗試解答后，教師要結合統計特點對學生的數學思維水平進行評價。

一級水平：能理解題意，每天及時在表格中做好記錄，算出一周內每天做作業的時間平均數，知道平均數最接近哪天的作業時間，知道自己做作業時間最長、最短的分別是哪一天，相差多長時間；

二級水平：能完成一級水平的各項任務，明白這些數據所表示的意義，并在和同學交流中，比較自己和同學用的時間是長還是短；

三級水平：統計匯總小組內每個同學每天的作業時間，算出平均數，靈活、迅速地發現誰做作業用的時間最長、最短、相差多少、最接近哪一天的作業時間等，明白這些數據所表示的意義。

四級水平：能完成三級水平的各項任務，能用條形統計圖、折線統計圖或扇形統計圖表示各小組所用時間的平均數。

下面是一名學生的答案，被評為水平三，因為他不但及時記錄了每天的作業時間，算出了平均數（如表3），而且知道了自己和其他同學相比，作業時間適中，還知道自己星期一做作業的時間最短，星期三做作業的時間最長，兩次時間相差15分鐘。比較時，他先用自己的平均時間做代表，把自己的作業時間與平均時間進行比較。他能收集、記錄數據，知道如何求平均數，但沒有制作統計圖，因此被評為三級。這樣評價學生的數學思維水平，主要關注學生的統計意識和數據分析觀念。

表3

4.“綜合與實踐”領域的開放題學習評價

小學數學“綜合與實踐”是以問題為載體，以學生自主、積極參與為主的學習活動。學生在解決開放題的過程中要綜合運用所學數學知識和方法，從而培養他們綜合運用知識和方法的能力，培養他們的問題意識、應用意識和創新意識，使他們積累活動經驗，發展數學綜合素養。蘇教版教科書中每學期都有一兩次數學綜合實踐活動，每節課都有數學開放題。

四年級下冊數學教科書“數字的編碼”中有這樣一道開放題（105頁）：如果要為全校同學編號，你想表達哪些方面的信息？準備怎樣設計？

學生嘗試編碼后，教師要結合綜合實踐活動的特點有針對性地進行評價。

一級水平：理解題意，能用自然數1、2、3、4……或用四位數字（估計全校有1000多人）0001、0002、0003……編碼，從一年級開始依次表示全校同學總人數。

二級水平：用6位數編碼，分別表示全校同學的年級、班級、學號和性別等信息。如一年級二班第37號是男生，編碼為123701（從左往右，1表示一年級，2表示2班，37表示班級的座位號，01表示男生）。

三級水平：用8位數的編碼分別表示全校同學的入學年份、班級和學號等信息。如2017年小學入學的6班第45號學生，可以用20170645表示。

四級水平：用12位數的編碼表示全校同學的出生時間、年級、班級、學號和性別等信息。如101231203261（表示出生時間是2010年12月31日，二年級三班第26號，是男生）。

一名學生用8位數字編碼表示學生的入學年份、班級和學號等信息。他設置的編碼是13053201，表示2013年入學，（五年級）5班，學號是32的男生(01表示男生)。他能獨立設計方案，用8位數字編碼，并且清晰準確地表示編碼的含義，甚至比三級水平多了性別，因此被評為水平三。這樣評價學生編碼的數學思維水平，主要關注的是他們思維的復雜程度以及靈活應用所學知識的思維水平。

總之，開放題教學應充分考慮學生的年齡特點和知識經驗，引導學生經歷問題解決的過程，發展學生的數學思維；開放題學習評價堅持低起點，寬入口，循序漸進，以定性為主，盡量使學生獲得成功體驗，以便幫助學生樹立學好數學的自信心。▲