小學數學速度概念的理解與認知階段劃分

金軒竹，丁 銳，馬云鵬

（東北師范大學教育學部，吉林 長春 130024）

1928年，著名物理學家愛因斯坦（Einstein）向皮亞杰（Piaget）提出“兒童是以何種順序掌握時間與速度概念”的問題。傳統的牛頓力學（Newtonian Mechanics）認為時間是更為本質的概念，速度只是由時間概念所派生出的概念。但相對論（Relativity-Theory）則認為，時間與速度互為參照，并無更基礎的一方。為更好地回答愛因斯坦的問題，皮亞杰在近20年的研究中相繼出版了2套近500頁的文集，論述了不同年齡段兒童建構速度與時間的過程，并由此掀開了學界對速度概念及其建構過程的研究。[1]時至今日，對速度的研究早已不再局限其與時間概念孰先孰后的問題，而是進一步從認知階段、比例關系等視角開展研究。在此基礎上，本文對線性移動中速度概念的相關研究進行梳理，提出兒童建構速度概念的可能軌跡，并為速度概念的教學提供相應的策略。

一、速度概念的理解

在物理學中，速率（Speed）是指物體位移的距離與所耗費時間的比值，是將物體的移動（Motion）量化了的結果，而速度（Velocity）則是描述物體位置變換快慢與方向的矢量。雖然在義務教育階段的數學學習中，關于物體移動快慢的討論并不涉及運動方向，但由于“速度”是教學中的習慣用語，因此本文仍以速度論之。已有對速度概念的理解主要從內包量（Intensive Quantity）與比率（Rate）兩個角度進行界定。

（一）速度是內包量

根據物體隨系統變化情況的不同，可將物體的物理性質劃分為內包量與外延量（Extensive Quantity）兩類。其中，外延量是指可通過測量直接得到的量，如溫度、長度等，體現的是量的加法性質；而內包量則是指無法直接測量而由兩個外延量的比值所得到的量，如密度、速度等，體現的是量的乘法性質。[2]內包量建立在對比理解的基礎上，涵蓋了數學、物理、化學等多個領域。已有對內包量的研究主要集中于通過呈現實物情境或以數字、語言表示的抽象命題，探究兒童區分與運用不同維度的能力，梳理不同的認知階段。例如，藤村等人通過讓兒童回答并解釋相關內包量概念問題總結出“基于單一量大小、基于兩個量倍數關系、平均單位關系以及以加減法關系”四種兒童判斷內包量概念的常用策略。[3]因此，從內包量角度定義速度概念更多的是關注距離與時間維度對速度概念建構的影響，將兒童對不同維度的整合過程，以及對同向與逆向關系的理解視為首要關注點，并利用情境、語言描述等方式探究公式計算背后的兒童思維發展的真實情況。

（二）速度是一種比率

將速度視為比率是分析速度概念的又一視角。比（ratio）與比率的關系始終是國內外學界的爭論點。《辭海》將“比”定義為當比較兩個同類量a和b的關系時，如果以b為單位來度量a，稱為a比b，所得的數k稱為“比值”，即“比率”，記a：b=k。“：”是比號，比號前的量稱為“比的前項”，比號后的量稱為“比的后項”。[4]但有學者指出，此種定義將諸如速度、夏普比等非同類量的比排除在外，且沒有體現出比的度量作用。[5]美國數學教育家湯普森（Thompson）認為，判斷比與比率的關鍵在于是否經歷過抽象過程。“比”是將兩個量進行乘法比較（Comparing Two Quantities Multiplicatively），且局限于特定的情境，而比率則是通過將“比”剝離情境抽象化、符號化后所抽象出的一個整體。[6]對于速度概念而言，“比”更多的是在描述距離與時間的倍數關系，而比率便如同一個“線性函數”（Linear Function），可根據需要將其實例化。例如，當描述一個物體以60km/h的速度進行運動時，只是將物體運動進行量化，與它已經或正在走過的距離及花費的時間無關，可隨時根據情境的需要進行賦值。如，該物體以此速度運動半小時，則運動距離將為30千米。即，無論兩個量中的哪一個發生變化，另一個也必然發生變化，但該比率保持不變。[7]因此，兒童要能夠將速度視為一種比率，理解對于勻速運動的物體而言，物體的運動距離是被時間單位成比例地分割開來。

綜上所述，本文認為無論是內包量還是比率都強調兒童對速度、距離、時間三者關系的理解，但當以數學視角分析速度概念時，則更傾向于關注變量間的關系，從比率角度界定速度概念。總之，無論是將速度視為一種內包量還是距離與時間相比所得到的比率，刻畫兒童速度概念發展的軌跡與關鍵點都是研究與教學的主要著眼點。

二、速度概念發展階段的劃分

對兒童速度概念發展階段的劃分既需要參照內包量概念的認知階段，也要考慮速度概念所具有的獨特性。在包量概念的相關研究中，西格勒曾以皮亞杰的相關研究為基礎，對兒童理解諸如濃度等概念的過程進行了探討并劃分出四個階段（參見表1）。[8]

表1 西格勒的兒童內包量概念發展階段

其中，主導維度并不意味著某一維度是更重要的，相反，它只是用來描述兒童在進行判斷時所通常依賴的維度，這種依賴性在成人中也表現得更為顯著。但“主導”與“從屬”的地位也并非一成不變，不同的刺激可能會使二者產生逆轉。藤村在西格勒研究基礎上，對兒童解決內包量問題的策略及認知水平進行了區分，將只考慮一個量的策略命名為策略A，對于同時考慮兩個變量的情況，又根據演算策略的不同將基于倍數、平均單位的運算分別稱為策略B、C，將錯誤的或基于加減等運算策略的命名為策略D，并認為策略A到C的轉變體現了兒童的認知水平由“一個量的符號化向兩個量的符號以及倍數關系與平均單位認識的轉變”[9]。

此外，速度概念也具有一定的獨特性。速度作為路程與時間的比值表述為“速度=距離/時間”。這一數學公式中包含著時間與距離、速度與距離兩對正比例關系以及時間與速度的反比例關系。其中，正比例關系是指：x與y為兩個數，在變化過程中，如果x與y的比保持為常數c，就稱這兩個數成正比例；而當x與y的倒數成正比（例）時，x與y則為反比例關系。[10]即，只有當兒童識別出速度、時間、距離三者中保持不變的因素并能夠在量化層面綜合考慮三者關系時，才可謂真正地掌握比例關系，建構起速度概念。

因此，基于內包量認知階段及速度概念所具有的特點，綜合不同研究，可將兒童速度概念的發展軌跡劃分為：以停止點順序判斷速度大小階段、過渡階段、理解同向與逆向關系階段以及掌握時間—距離—速度系統的階段（如圖1所示）。

圖1 兒童速度概念的發展階段

（一）以停止點順序判斷速度大小階段

皮亞杰是最早對兒童速度概念建構階段進行研究的學者。其通過對5至12歲（N＞80）的兒童進行一對一訪談后發現，5至6歲的兒童會根據物體停止點的順序位置判斷速度的大小。例如，當將紅色與藍色小車前后放置并同時開始運動時，兒童會認為無論二者間的差距是否縮小，只要紅色小車的停止位置仍在藍色小車前，紅車的速度便大于藍車；停止位置相同則速度也相同。即，“距離越長，花費的時間也越長”。皮亞杰認為，這是由于移動（Movement）在根本上意味的是順序的變化，而速度作為描述物體移動快慢的向量同樣是建立在對物體空間位置變化感知的基礎上。[11]因此，對于不具備同時性（Synchronous）概念的兒童而言，他們無法將時間與距離同速度建立起關聯，從而只能將最為直觀的順序位置作為判斷物體速度大小的首要依據。同樣，艾克多羅與施密德（Acredolo&Schmid）所開展的較大樣本量研究也證實了停止點的相對位置作為兒童判斷速度的首要策略會一直持續至兒童8歲左右。[12]在此階段，距離維度，特別是物體運動的停止點位置在速度概念成為主導維度，而時間作為從屬維度被兒童所忽略。

（二）過渡階段

隨著認知能力的發展，7至8歲的兒童開始考慮諸如起點位置、運動時間等因素對物體速度的影響，對速度概念的認知逐漸由單維的停止點順序主導向二維關系的建立過渡。過渡階段的兒童雖仍具有明顯的“停止點”傾向，且對“快”這一形容詞的理解依舊在速度與距離長度間搖擺，但他們會主動修正自己的答案，開始考慮其他維度的影響。雖然西格勒等人運用規則評估技術（Rule-Assessment）進行的研究并沒有發現將速度與距離混淆的情況與某個特定年齡段存在關聯，但后續的研究均表明存在一個階段，兒童開始意識到其他因素對速度判斷的影響，但對其中關系的認知仍較為混亂。在時間概念上，過渡階段中的絕大多數兒童會混淆停止時間與運動時間，將“火車在6秒鐘停止”完全等同于火車的運動時間，而不考慮出發時間。[13]總之，過渡階段的兒童雖然對時間概念的理解仍存在混淆，且尚不清楚如何將距離與時間二者建立聯系，但他們已經開始有意識地考慮距離、時間兩個維度對速度概念的影響，并逐漸意識到其中的關聯。

（三）理解同向與逆向關系階段

對物體運動過程中同向與逆向關系的把握體現了兒童由單維的“停止點中心”發展至明晰兩個維度間關系的階段。同向（directrelationship）與逆向關系（inverserelationship）是指兒童雖然能夠意識到兩個變量是以相同或相反方向進行變化，但卻忽視另一個變量所處的狀態[14]，即，無法同時考慮三個變量間的關系。例如，呈現兩列速度相同（并未告知兒童）但行駛距離卻不同的火車運動情況，詢問兒童為何其中一列火車花費的時間更長時，兒童會給出“因為另一列車所到達的車站距離更遠，所以需要的時間也更長”的解釋，并不會詢問或考慮二者的速度是否相同。一般認為，兒童在四歲左右開始意識到時間與距離、速度與距離間的同向關系，并隨著年齡的增長逐漸清晰。其中，對距離與時間關系的理解不僅在時間上要略晚于距離與速度，且難度更大，不同年齡段的兒童均會出現將二者視為逆向關系的情況。

逆向關系的理解是兒童在較長一段時間內的難點，兒童會認為速度大的物體所需要的時間也更長，將空間與時間概念相混淆。對這一現象的解釋主要包括兩個方面：一方面是從概念本身入手，認為時間概念所具有的復雜性及早期形成的同向關系干擾了兒童對速度與時間的理解，兒童通過泛化“順理成章”地得到“更快的物體需要更長時間”這一結論，從而將速度與時間視為同方向變化。[15]另一方面則是從認知角度展開分析，認為時間與速度的混淆體現了兒童早期的認知特點。首先，某些特定維度會對兒童產生較為顯著的影響，兒童更傾向于以此維度作為判斷的標準；其次，較之穩定不變的因素，兒童更愿意將注意力集中在具有明顯差異的維度，因而常忽略另一維度所處的狀態；最后，在面對與時間因素相關的問題時，兒童會依據“多就是多（More is More）”的原則進行判斷。即，兒童會將諸如速度較大、亮度較高的物體視為“更活躍”“更努力”的一方，并由此認為這類物體需要花費的時間也更多。[16]一般認為，5至7歲左右的兒童開始逐步理解速度與時間的逆向關系，但直到9歲以后才能夠明確并運用同向與逆向關系解決問題。

隨著認知能力的發展，兒童在建立同向與逆向關系的過程中會逐漸意識到第三個維度對速度判斷的影響，但仍不會在言語表達或操作過程中主動提及。同單維至二維的過渡階段相同，兒童對兩組二元關系與時間—距離—速度系統的調和過程可能并不是某一年齡段的“專屬”，6至10歲的兒童均可能處于這一轉換階段。[17]

（四）掌握時間—距離—速度系統的階段

皮亞杰認為，速度概念的掌握主要包括直觀與抽象兩個層面。直觀層面是指兒童對物體運動完全或部分地可見，兒童能夠通過觀察獲得關于物體運動距離遠近、時間長短與速度大小的直觀體驗，并對其進行比較。研究者通常會控制參與比較的兩個物體以使二者在其中一個維度上具有相同的數值，并借助實物進行呈現。例如，通過裝置呈現火車A在10秒的時間里運動了20米，火車B在10秒的時間里運動了25米的情形，詢問兒童哪一列火車的速度更大。直觀層面的問題能夠最大限度地確保不同年齡段兒童對問題的理解，為縱向了解兒童的思維發展提供了可能。盡管并非是兒童有意識的自發行為，但隨著認知能力的發展，9至11歲的兒童開始理解直觀層面中的比例關系，形成了正確的時空（Spatio-Temporal）概念，但仍然無法將其中的關系自發地整合起來，常會出現模棱兩可的答案。而直到11歲以后，兒童才能在直觀層面實現對距離—時間—速度系統有意識的運用。[18]

在皮亞杰的研究中，雖然兒童在直觀層面掌握了速度概念，但當撤去實物而呈現以符號表示的“距離（時間）不同但時間（距離）相同的問題”，以及“距離、時間均不同的速度問題”（如，物體A 5秒鐘運動5厘米，物體B 6秒鐘運動7厘米，誰的速度更大？）時，兒童又再一次退回到依據停止點位置進行判斷的水平。因此，皮亞杰認為，對物體運動情況的直觀層面判斷并不能證明兒童已完全理解速度概念中的比例關系，只有當兒童能夠在符號層面比較距離、時間均不相同的兩個物體的速度時，才可謂真正理解距離—時間—速度系統。[19]例如，在比較3秒鐘運動12厘米和2秒鐘運動11厘米的物體時，能夠通過推導出后者的速度更大；又或是對于2秒鐘運動4厘米與4秒鐘運動8厘米的問題，兒童能夠發現由于二者的比率相同因此速度也是相同的。將上述兩類問題視為兒童對比例關系的更高水平的掌握除與抽象程度的差異有關外，對距離與時間均不相同物體的比較涉及了等價類這一重要的數學思想。等價是集合X上具有自反性、對稱性和傳遞性的二元關系，而等價類則是由等價關系誘導出的特殊子集，設A是一個非空集合，對于A上的一個元素a，所有A中與a等價的元素所組成的集合就叫作由a產生的等價類。[20]等價類在解決計算、比較等問題時發揮著重要的作用。對于“比”而言，等價關系主要體現為將最簡比進行擴充以得到比較與計算的合適形式，上述對“3秒鐘運動12厘米和2秒鐘運動11厘米”的速度比較，便是利用等價關系尋找到相同的時間后，再依據正比例關系對速度進行的判斷。皮亞杰的研究表明，只有12歲以上的兒童才能夠在符號層面靈活地運用比例關系解決問題，理解其中的等價關系，在起始點、運動時間不同的情況下做出正確的判斷，將距離與時間維度進行合理的整合。

總而言之，兒童速度概念的發展過程并非一蹴而就，而是遵循著由單維的停止點順序到考慮同向與逆向關系，再到掌握時間—距離—速度系統的過程。對兒童速度概念認知階段的梳理有助于為研究者與教師提供兒童思維發展的脈絡圖，為課堂教學及課程整合提供參照。

三、對教學的啟示

（一）注重直觀體驗，培養抽象能力

數學并非是獨立于經驗世界的先驗性內容，而是產生于現實的需要。純數學的研究對象是現實世界的空間形式與數量關系，所以是非常現實的材料，但為了能從純粹的狀態進行研究，則必須對其他的特性進行剝離，抽象出不同于現實世界的對象與關系概念。[21]同樣，理解并運用以符號形式存在的速度概念及其與距離時間的關系都離不開數學抽象。抽象能力的發展并非一蹴而就，需要通過活動不斷積累后天經驗，提高直觀能力。

速度模型是小學數學中重要的乘法模型之一，我國現行的數學教材大多在三年級開始引入速度的相關問題，北師大版教材將其融入至加減法與乘法的學習中，側重于運用公式進行乘除法的運算[22]，而在人教版教材中，以速度為背景的應用題出現次數為最高的12次[23]，重要性可見一斑。線段是速度模型教學中最為常用的表征方式，對于勻速運動的物體而言，線段所代表的是路程的長短，根據物體的運動時間將線段進行等分，每段所代表的便是物體的運動速度。將速度以可見的線段進行呈現看似降低了兒童理解的難度，但其中所涉及的是對路程的抽象以及比例關系的理解。以線段表示路程要求兒童能夠理解物體的運動距離是被時間單位成比例地分割開來。如，當以線段圖的方式表示6小時運動120千米的物體速度時，兒童要首先選取一段能夠平分成6份的線段，并將其視為“120千米”；其次，兒童要能夠理解由于物體花費了6個時間單位進行運動，因此要將總路程相應地分成6段長度相等的部分，每一部分不僅在數值上與速度相等，并且也代表著物體在每個單位時間內的路程，進而將速度與路程、時間建立起聯系，領會“速度=距離/時間”的公式（參見圖2）。

圖2 線段圖表示速度

線段圖不僅能夠培養兒童的抽象思維，而且能夠幫助兒童深入理解速度概念，輔助兒童解決相遇、超越等問題，但在教學中，教師一方面不能“想當然”地要求學生立即理解線段圖的意義，而是要由諸如“賽跑、旅行”等具體情境入手，讓學生意識到運用線段的原因及必要性，并通過比較不同情境下線段的長度而引導兒童意識到二者間的關系；另一方面，教師要使兒童明確每一份線段所代表的是物體在一秒鐘所運動的距離，將其與時間建立聯系，從而避免兒童將每一份線段簡單地視為“一段距離”、將路程視為對“速度長度”重復所得到的結果。

（二）全面剖析概念，關注認知軌跡

兒童的生活本是一個整體，但零散且缺乏銜接的學科內容將兒童的世界加以割裂和肢解，無法幫助兒童將已有經驗同新知識進行整合。因此，教師要了解兒童在學習某一主題時的認知過程及思維方式，明確現階段內容與主題間的聯系，圍繞核心概念展開教學。以描述學生在一個時間跨度內學習和探究某一主題時，依次進階，逐級深入的思維方式的學習進階（Learning Progression）與假設性學習軌跡（Hypothetical Learning Trajectory）均體現了對概念的整合及學生認知過程的關注。[24]

同樣，速度概念不單是數學內容，更與數學、物理等內容的學習緊密相連（如圖3所示）。在橫向層面，一方面，速度概念同濃度、密度等內包量概念具有內在一致性，兒童不僅遵循著相似的認知階段，而且均涉及對數量間的比例關系的掌握；另一方面，對速度、距離與時間三者的關系的理解與運用也是培養兒童數學模型思想的重要環節，速度模型作為應用題中的現實背景之一貫穿于各個階段的數學學習中，溝通兒童的現實生活與數學世界。在縱向層面，速度概念連接著物理知識的學習，兒童開始在更為廣泛的意義上理解物體的運動。在初中階段，“機械運動”開啟了兒童對物理知識的學習，通過對長度與時間的測量、運動的描述、運動的快慢及測量平均速度內容的學習進一步完善對速度概念的建構；而到了高中階段，“運動的描述”作為高中物理學習的開端，將學生速度概念的認知進一步深入至位移與加速度，從而實現對物體運動相關知識的綜合運用。由此可見，在速度教學中，教師要溝通知識間聯系，深度剖析概念，遵循學生的認知軌跡，幫助學生建立與完善知識網絡。

圖3 速度概念關聯圖

（三）深入發掘，彰顯數學核心素養

數學核心素養是學生學習數學過程中形成的對未來發展起重要作用的思維品質和關鍵能力，具備數學素養的人能夠從數學的角度看待問題，運用數學的思維方式思考并解決問題。[25]目前，義務教育階段已經確立了包括數感、符號意識等在內的共十個基本核心素養，在培養數學品質的同時促進學生的全面發展。

從數學核心素養的視角出發看待速度概念的教育價值主要包括三個方面：首先，速度概念中的比例關系是對符號意識的培養，在解決速度的相關問題過程中，學生得以經歷“選擇并運用恰當的符號表征情境中的數量、采取恰當的方式對符號進行計算、運用等價關系解決問題”的過程，并能夠逐步理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式，提升符號意識。其次，對速度、時間、距離三者關系的建構過程體現了數學推理能力，如，在距離相同的情況下，根據不同速度值所對應的時間歸納得到速度與時間的反比例關系便是一個完整的合情推理過程。最后，在小學階段，路程模型與總量模型是教學中必須考慮的兩個模型，其中，路程模型可以適用于總價、總數等一系列現實中問題。[26]因此，速度問題作為路程模型的重要類型之一有助于幫助兒童理解數學與外部現實的關系，在培養學習興趣的同時，使兒童意識到現實生活中所蘊含的大量問題可以通過數學知識予以解決，提高應用意識。▲