抓實探究過程滲透數學思想

陳麗云

《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱“新課程標準”）明確提出：讓學生通過學習獲得適應未來社會生活和進步發展所必需的重要的數學知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。“數學廣角”的內容是通過生活實例呈現一個個數學經典問題，在探究過程中，使學生經歷和體驗運用數學思想方法解決問題的有效性和價值。本文以人教版六年級數學下冊第68～69頁例1、例2“鴿巢問題”的教學為例，談談在數學廣角中滲透數學思想的一些做法。

一、通過課前互動，激發學習興趣

在教學“鴿巢問題”一課時，課前帶領學生開展了兩個互動游戲。一是搶凳子（①人與凳子一一對應；②人比凳子多1）。二是變魔術。一副54張的撲克牌，取出大小王，還剩52張，請5人每人隨意抽取一張，師準確判斷至少有2張牌是同一花色的。在兩個游戲中，滲透總有和至少兩個概念。

游戲情境中的元素，是學生生活中比較熟悉、生動有趣的素材，可激發學生探究游戲背后的數學原理的強烈愿望。

二、通過自主探究，感悟數學思想

活動一：研究3支鉛筆放進2個文具盒。

1.要把3支鉛筆放進2個文具盒，有幾種放法？請同學們想一想、擺一擺、寫一寫，再把你的想法在小組內交流。

2.反饋。

生：兩種放法（3，0）和（2，1）。

師：請觀察兩個文具盒里的鉛筆數，看看有什么發現？

生：總有一個文具盒至少放進2支鉛筆。

師：“總有”什么意思？

生：一定有。

師：“至少”有2支鉛筆什么意思？

生：不少于2支。

師：在研究3支鉛筆放進2個文具盒時，同學們發現了“不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆”。

在課前互動游戲中滲透了總有和至少兩個概念，在研究3支鉛筆放進2個文具盒時，學生能順利遷移。

活動二：研究4支鉛筆放進3個文具盒

1.要把4支鉛筆放進3個文具盒里，有幾種放法？請同學們動手擺一擺、寫一寫，再把你的想法在小組內交流。

2.反饋。

生：四種放法（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：這次有四種放法，同學們請再次觀察三個文具盒里的鉛筆數又有什么發現呢？

生：還是發現總有一個筆盒至少有2支鉛筆。

師：像這樣一種一種地羅列出來的方法，我們把它叫做“枚舉法”。

師：你能琢磨琢磨看有沒有更直接的辦法，只擺一種，就能解釋這個結論嗎？

生：假設每個文具盒都先放進一支，還剩一支不管放進哪個文具盒，總有一個文具盒至少有2支鉛筆。

師：能解釋一下你的想法嗎？

生：假設在每個文具盒里放1支鉛筆，其實就是用“平均分”的辦法把4支鉛筆平均分給3個文具盒，剩下1支任意放進哪個文具盒里，那個文具盒里就有2支鉛筆了。

師：這位同學的思路真清晰。用假設的方法來分配鉛筆，我們就叫它“假設法”吧。

師：誰能用算式來表示這位同學的想法？

生：4÷3=1……1。

師：商1表示什么？余數1表示什么？

生：商1表示每個文具盒里有一支鉛筆，余數1表示還剩下一支鉛筆。

師：在探究4支鉛筆放進3個文具盒的問題時，同學們用了“枚舉法”和“假設法”來說明理由，你覺得哪種方法更明了更簡單？

評析：“鴿巢問題”選取學生熟悉的生活事例，為原本抽象深奧的數學思想搭建了豐富的現實背景。通過讓學生經歷觀察、思考、琢磨、交流、推理、解釋等富有思維成分的兩個活動來弄清事理，建立初步的數學模型，讓學生感悟數學思想，體驗數學思考，培養學生從數學的角度來解釋問題。

三、通過合作研究，建立數學模型

“鴿巢問題”是較為抽象的數學問題，學生理解并抽象出抽屜原理有一定的難度，在學生經歷了“枚舉法”和“假設法”兩種數學思考之后，再通過合作研究建立數學模型，深化推理。

活動三：研究鉛筆數比文具盒數多1的情況。

師：請各小組快速研究以下幾個問題。

把5支鉛筆放進4個文具盒，是不是總有一個文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把6支鉛筆放進5個文具盒，是不是總有一個文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把7支鉛筆放進6個文具盒，是不是總有一個文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把100支鉛筆放進99個文具盒，是不是總有一個文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

生分組板書：5÷4=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

6÷5=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

7÷6=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

100÷99=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

師：從剛才的探究活動中，你能總結出求至少數的方法嗎？

生：我們發現只要放的鉛筆數比文具盒的數量多1，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆?？梢员硎緸椋褐辽贁?商+1

師：同學們很善于思考，真棒！

活動四：如果鉛筆數比文具盒數多2呢？多3呢？多5呢……是不是也能得到“總有一個文具盒至少有2支鉛筆”的結論呢？

下面請用剛才總結的方法再研究以下問題：

1.如果把8個蘋果放入4個抽屜中，至少有幾個蘋果被放到同一個抽屜里呢？

2.如果把8個蘋果放入3個抽屜中，至少有幾個蘋果被放到同一個抽屜里呢？

3.如果把8個蘋果放入5個抽屜中，至少有幾個蘋果被放到同一個抽屜里呢？

生板書：8÷4=2

8÷3=2……2

8÷5=1……3

師：誰能解釋這一個結果？

生描述現象，教師板書總結為：

至少數

物體個數÷抽屜個數=商數

（物品數）（容器數）8÷4=2 無余數 商

8÷3=2 ……2 有余數 商+1

8÷5=1……3 有余數 商+1

師：那可以換一種物品嗎？比如鴿舍里關鴿子、袋子里放小球等，如果可以換，那要怎么描述呢？

生：可以換啊，我們可以把蘋果、小球、鴿子等都叫做物品數，把鴿舍、盤子、袋子叫做容器數。

師：這位同學歸納得很好，我們今天所研究的求至少數的方法最先是由19世紀的德國數學家狄里克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”或者“抽屜原理”。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用?！俺閷显怼钡膽檬乔ё內f化的，用它可以解決許多有趣的問題。

將活動建立在學生已有的生活經驗基礎上，使教師的教基于學生的生活經驗進行。

四、通過有效訓練，鞏固數學思想

小學數學教學中，訓練是不可忽視的重要環節，在學生理解數學模型，初步形成數學思想之后，設計有梯度的練習，在練習中再次指導學生對現象加以解釋，并作適當拓展，使學生再次體驗運用數學思想方法解決問題的價值。在“鴿巢問題”訓練環節，設計了以下基本練習和拓展練習。

1.基本練習。

做一做：請用鴿巢原理解釋以下現象。

（1）7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？（生：解釋現象。）

教師示范描述：假設一個鴿舍里飛進1只鴿子，5個鴿舍最多飛進5只鴿子，還剩2只鴿子，所以無論怎么飛，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。列式為：7÷5=1（只）……2（只）至少數=1+1=2

（2）9只鴿子飛回4個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？（生：解釋現象。）

教師示范描述：假設先讓一個鴿舍里飛進2只鴿子，4個鴿舍最多飛進8只鴿子，還剩1只鴿子，所以無論怎么飛，至少有3只鴿子要飛進同一個籠子里。9÷4=2（只）……1（只）至少數=2+1=3

2.拓展練習。

請用鴿巢原理解答以下問題。

（1）在任意15人當中，至少有（ ）人的屬相相同。

（2）六年級有370名學生，至少有（ ）人是同一天生的。

評析：“鴿巢原理”在生活中應用廣泛，學生在生活中常常能遇到實例，但并不能有意識地從數學的角度來理解和運用“鴿巢原理”。通過這樣幾個片段的教學，有意識地讓學生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。有效地培養學生的動手操作能力、小組合作能力、邏輯思維能力和歸納推理能力，加上學生已有的生活經驗，能更好地感受到用“鴿巢原理”解決問題的價值。